* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

310 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Для доказательства заметим, что, давая аргументу (исходя из значения л:) приращение Ах Ф 0 и обозначая через Ду соответ­ ствующее приращение функции, мы можем это последнее приращение записать так: А V — ~- Ах. ^ Ах Дv ЕСЛИ ДЛГ—>0, ТО пределу у'=/'(х). отношение ^ стремится Поэтому Нт Ду = 0, к конечному ) 1 что и означает непрерывность функции f(x) в точке х (т. е. при том значении аргумента, к которому прибавлялось Ах). В связи с последней теоремой возникает вопрос, не будет ли условие непрерывности функции в какой-либо точке и д о с т а ­ т о ч н о для наличия производной в этой точке. На этот вопрос приходится дать отрицательный ответ. Напри­ мер, всюду непрерывная функция 3; = ] JC | в точке д: = 0 производ­ ной н е и м е е т . В самом деле, здесь в зависимости от того, будет j ли Ах^>0 или Ах<^0, окажется f 4 E Ду -гДх = -^ 1. Поэтому в нашем случае предела lim Длг—О Л ^ х не существует. Это видно и геомет­ рически, ибо график функции .у = j j t | имеет вид ломаной, изображённой на рис. 6. Ясно, что в начале координат у этой ломаной нет касательной. Рассмотренный пример очень прост, так как у функции y = |je| в точке х = 0 существуют так называемые «правосторонняя» и «левосторонняя» производные. Правосторонней производной функ­ ции f(x) в точке х называется предел выражения f(x + \x)-f(x) Рис. 6. Дх 9 в котором Дд; стремится к нулю, п р и н и м а я л и ш ь п о л о ж и ­ т е л ь н ы е з н а ч е н и я . Обозначается правосторонняя производная через f+(x). Таким образом /(£+**)_/(*) f U x ) = Н г а Алг-*0 Л*>0 1 Дх ) См. сноску на стр. 308,