* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

306 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Ввиду того, что касательная есть предельное положение секущей, ясно ), что k = lim £*. (3) 1 Так как обе точки М ц N лежат на кривой (2), то • =/(*). У откуда ЬУ = / ( * + А*) — / ( * ) • С другой стороны, из факта стремления точки N к точке М вытекает, что Ах стремится к нулю ) . Поэтому равенство (3) можно переписать и в такой форме 8 > + АУ = / ( * + * * ) • k= lim £ = lim / ( * + * * > - / ( « > . ( I I ) Таким образом, дело свелось к нахождению предела (II), кото­ рый ничем, кроме обозначений, не отличается от предела (I). Рассмотрим ещё один конкретный вопрос, который снова при­ ведёт нас к тому же пределу. в. З А Д А Ч А о п л о т н о с т и . Средней плотностью прямолиней­ ного стержня называется отношение его массы к его длине (мы имеем здесь в виду л и н е й н у ю плотность стержня; к этому понятию приходят, когда пренебрегают толщиной и шириной стержня). Чтобы получить более точное представление о характере распределения массы вдоль стержня, вводят понятие «ИСТИННОЙ» плотности стержня в данной его точке. Под этим понимают п р е д е л средней плот­ ности бесконечно малого учаi_c 1 ^ . стка стержня, стягивающегося б № ± в эту точку. Q Будем характеризовать поРис. 5. ложение точки М на стержне её расстоянием ОМ = 1 от одного из концов О стержня (рис. 5). Тогда, обозначив через т массу участка ОМ, мы, очевидно, получим, что т окажется функ­ цией I m=f(l), (4) причём знание зависимости (4) полностью определит нам, как рас­ пределяется масса стержня. Поставим вопрос, как, зная уравнение (4), найти плотность стержня в данной его точке М, где OM = L * ) Строгое доказательство равенства (3) без труда вытекает из непре­ рывности функции tga. •) В силу непрерывности f(x) справедливо и обратное: при &х —*0 будет Я—* М. А