* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

304 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ нулю) числом 5, очевидно зависящим о г того, о каком моменте времени идёт речь. С другой стороны, сам этот момент времени определяется указанием числа t единиц времени, отделяющих его от некоторого определённого начального момента. Таким образом, QM — s будет функцией аргумента t s=f(t), (1) и знание этой функции полностью определяет движение точки. Равенство (1) называется уравнением движения. Вот примеры таких уравнений: s=t , 2 s= 2/ - j - 1, 3 s=sinr, s = Посмотрим, как найти «истинную» скорость точки М в момент t (т. е. в момент, отделённый от начального момента промежутком времени продолжительностью в t единиц), если известно уравнение движения (1). Рассмотрим наряду с моментом / другой момент времени t-\-AL В этот момент движущаяся точка М находится на расстоянии s - f Д 5 = / ( г + Д0 от начальной точки О. Поэтому расстояние As, пройденное точкой за промежуток времени, начинающийся в момент t и кончающийся в момент r-j-Дг, равно Поскольку продолжительность этого промежутка равна Дг, ясно, что средняя скорость за этот промежуток времени есть отношение As^/(f+Ar)-/(r) Дг Дг а тогда истинная скорость v точки М в момент t будет равна п р е д е л у этого отношения при стремящемся к нулю Дг: v= lim — = h m A/—• 0 Af-0 As ,. / ( г + Дг) — f(t) A — — 0 m ) Таким образом, физическая задача нахождения скорости приводит к чисто аналитической задаче нахождения предела (I). Рассмотрим другую задачу, также приводящую к подобному пределу. в. З А Д А Ч А о К А С А Т Е Л Ь Н О Й . В элементарной геометрии, где изучается одна лишь кривая линия—окружность, касательная к окруж­ ности определяется как прямая, которая имеет с этой окружностью всего лишь одну общую точку. Если рассматривать произвольные кривые, то такое определение касательной уже не будет удовлетво-