* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 295 нижнего н и ж н е г о , а также л е в о г о в е р х н е г о и л е в о г о предела значений функции в данной точке. В заключение следует обратить внимание читателя на то, что все введён­ ные выше понятия, в первую очередь — понятия верхней и нижней границы множества, нередко служат целям сокращения и упрощения («унификации») доказательств. Приведём несколько примеров, причем ограничимся теоремами, нам уже известными. Намечаем лишь схему доказательств, предлагая читателю в ка­ честве упражнения воспроизвести их детали. 1. Любое ограниченное сверху бесконечное множество имеет верхний предел (см. стр. 291). Пусть Е— данное множество. Рассмотрим множество & точек А:, из которых каждая меньше л и ш ь к о н е ч н о г о ч и с л а точек множества Е. Нижняя граница множества (о и есть верхний предел множества Е. 2. Если функция f (х) непрерывна в промежутке [д, Ь\, причем J (а) < О, / ( £ ) > 0 , то в некоторой внутренней точке промежутка f (х) обращается в нуль (теорема Больцано, § 47, стр. 215). Рассмотрим множество $ точек х, в которых/(JC)>0. Нижняя граница множества & представляет собой точку, в которой функция / (х) обращается в нуль. 3. Если функция f(x) непрерывна в промежутке [о, Ь], то множество её значений в этом промежутке имеет наибольший элемент (теорема Вейерштрасса, § 47, стр. 218). Пусть множество значений функции/(х) в рассматриваемом про­ межутке, G — его верхняя граница. Допустим (доказывая от противного), что не существует такой точки х = £, в которой /(£) = G. Рассмотрим новую функцию 1 Она непрерывна в промежутке [о, Ь] и потому (теорема И на стр. 217) огра­ ничена сверху: <р(х)<ЛГ. В таком случае при всех значениях х из промежутка /(*)