* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 293 Число G называется верхней границей (гранью) последователь­ ности {а \, если оно обладает свойствами: 1° a ^G при всех значениях п (п=1, 2, 3, . . . ), 2° как бы мало ни было е ( ^ > 0), a ^>G — е хотя бы при одном значении п. Легко понять, что верхняя граница последовательности совпадает с верхней границей множества элементов этой последовательности. Что касается определения верхнего (и соответственно нижнего) предела последовательности, то, хотя оно формулируется почти буквально так же, как для множества, в содержании этого понятия есть некоторая особенность. Число L называется верхним пределом последовательности {а \, ограниченной сверху, если оно обладает свойствами: 1° как бы мало ни было е (^> 0), неравенство а <^ L -\- е вы­ полняется при «почти всех» значениях п (т. е. для д о с т а т о ч н о больших значений п), 2° как бы мало ни было е ( ^ > 0 ) , неравенство а ^> L — е вы­ полняется для бесконечного множества различных значений п (т. е. для с к о л ь у г о д н о больших значений п). При таких условиях оказывается, чго любая последователь­ ность, ограниченная сверху, имеет верхний предел даже в том случае, если множество, составленное-из членов последовательности, содержит лишь конечное число элементов. Аналогично, конечно, для нижнего предела. Так, верхний и нижний пределы последовательности {(—1)"} соответственно равны - f - 1 и — 1 хотя множество членов после­ довательности конечно: состоит всего из двух элементов — этих же самых чисел - f - 1 и — I ) . Считаем нужным познакомить читателя с обозначениями для верх­ ней и нижней границы множества Е или последовательности [а \: п n n п п п F 1 п G = sup£, и G = sup{a }, n g = ME *) g = mi{a }. n Что касается верхнего и нижнего предела, то для них приняты обозначения: L = lim Е, [ = lim Е и L = lim а , I — lim ^ п а ) Сопоставляя понятия множества чисел и последовательности чисел, не следует упускать из виду и то обстоятельство (в данной связи нас не инте­ ресующее), что не всякое множество чисел может быть расположено в форме последовательности; это невозможно для случая множеств несчёт­ ных (см. Э. э. м., ки. I , стр. 93). ) tsup» и «inf»— сокращения латинских слои ^superior* и «inferior» — «верхний» н еннжний». й 1