* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
286 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО таковые имеются) и гомологичную ей точку окружности, мы полу чили бы в одном случае несвязное, в другом — связное множество. Эллипс гомеоморфен окружности: растяжение, как и его частный случай — преобразование подобия, представляет собой гомеоморфное отображение. Читатель легко продлит перечень примеров этого рода. Может быть, занимаясь «буквами», он исчерпает весь русский алфавит, раз бив буквы на ряд групп таких, что буквы из одной группы будут гомеоморфны между собой, а из различных групп — не гомеоморфны. Дальнейшие и более разнообразные примеры содержатся в статьях, посвящённых топологии (см. Э. э. м., кн. IV). Здесь же мы имеем в виду остановиться еще на одной стороне вопроса. Ограничиваясь простейшим примером гомеоморфного отображения замкну того отрезка на замкнутый отрезок, постараемся выяснить, в какой степени неопределённой является задача реализовать (установить) такого рода ото бражение. Мы уже видели раньше (§ 52), что всякая монотонная (возрастающая или убывающая) непрерывная функция у =f(x) устанавливает гомеоморфное ото бражение отрезка [а, Ъ\ на оси Ох на отрезок [А, В\ на оси Оу. Убедимся в справедливости обратного утверждения: если между отрез ками [а, Ь] на оси Ох и [А, В] на оси Оу установлено гомеоморфное ото бражение, то оно реализуется посредством функции y= f (х), обладающей свойствами монотонности и непрерывности. Поскольку гомеоморфное отображение есть частный случай о д н о з н а ч н о г о , можно заключить о с у щ е с т в о в а н и и функции y=f(x), реали зующей данное отображение; поскольку данное гомеоморфное отображение устанавливает н е п р е р ы в н у ю зависимость между точками отрезка [а, Ь] и точками отрезка [А, В], можно судить о н е п р е р ы в н о с т и функции / (х). Остаётся убедиться в её м о н о т о н н о с т и . Концевой точке одного отрезка должна непременно соответствовать кон цевая же точка другого отрезка: иначе, если бы, например, точке а первого отрезка соответствовала внутренняя точка ^ второго отрезка, то, удаляя эти обе точки, мы получили бы в одном случае связное, в другом — несвязное мно жество. Возможны два случая: 1) f(a) = A, f(b) = B, 2) f(a) = B f(b) = A; остановимся на первом. Так как предполагается, что А<В, то функция f(x) не может быть убывающей; докажем, что она — возрастающая. При противоположном допущении существовали бы такие две точки х и х", что а^х' <х" и вместе с тем было бы /(*')>/(*"). Допустим сначала, что a