* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

284 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Другой, менее тривиальный, пример гомеоморфного отображения — ин­ в е р с и я фигуры F на фигуру F (см. § 56, стр. 262); формулы (52) заме­ няются теперь следующими: у х \ , и х у (53 > ^ ~~лг +у » 7 9 в ( ^ х' +у' * а я Если фигура (множество точек) г не содержит начала координат, то взаимная непрерывность, как легко видеть из формул (53), обеспечена. Прежде чем перейти к дальнейшим примерам гомеоморфных отображений (причём мы ограничимся примерами на плоскости с обычной метрикой), установим одно вспомогательное предложение общего характера. Если множество 37 гомеоморфно отображено на множество У то тем самым всякая часть 37 множества 37 также гомео­ морфно отображается на ту часть У множества У, которая ей соответствует в силу установленного отображения. В самом деле, если \Х \— последовательность элементов из 37 сходящаяся к элементу X, тоже из 37 , то 9 х х п v х /(*.)-/<*). где все элементы Y =f(X ) ( я = 1 , 2, 3, . . . ) и элемент Y=f(X) принадлежат множеству ЗЛ Но так как каждый из них по построе­ нию множества У принадлежит также и этому последнему множе­ ству и так как всё это рассуждение в целом обратимо, то соотно­ шение, установленное между 37 и У является гомеоморфным отображением. Таким образом, если n n х х 19 37 ^= 371 —~ 37 ^ | И 37 37 g = О х х и если 37 гомеоморфно отображено на 3^, причём 37 отображено на У , , а 37 — на то оба отображения S(7 на & и 37 на У — тоже гомеоморфные. В частности, допуская, что 37 состоит из о д н о г о элемента, приходим к заключению: если множество 37 гомеоморфно отобра­ жено на множество У, то отображение между множествами» полученными после удаления из 37 одного элемента и соответ­ ственного ему элемента из У, также продолжает оставаться гомеоморфным. Этот результат совместно с теоремами предыдущего параграфа позволит нам в ряде случаев убедиться в н е в о з м о ж н о с т и уста­ новить между двумя множествами гомеоморфное отображение. Всякие два замкнутых отрезка гомеоморфны между собой (так как они подобны). Также и всякие два открытых отрезка (без конеч­ ных точек). Но замкнутый и открытый (или полузамкнутый) отрезки % X г 2 2 х