* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 277 9. Если в метрике простой сходимости orf — множество функ¬ ций вида / п (дг) = y - j — ^ ( я = 1, 2, 3, ), то orf' состоит из единственной функции / W— \ о п р и х ^ 0 щ В метрике равномерной сходимости множество Множество о£ замкнутым, если Множество orf пусто. в топологическом пространстве %С называется иногда называют замыканием множества orf. Замыкание замкнутого множества, очевидно, совпадает с самим множеством; и обратно, если замыкание множества совпадает с самим множеством, то это множество — замкнутое. Примерами замкнутых множеств могут служить: а) Множество точек, принадлежащих замкнутому отрезку а^х^Ь. б) Множество непрерывных функций /(дг), заданных на отрезке а^х^Ъ при равномерной метрике (см. § 48). Заметим, что из orf с : <Ш следует orf' с : <£3* (очевидно). Т е о р е м а . В метрическом пространстве всякое производное множе­ ство замкнуто. В виде формулы это утверждение записывается так: orf" orf\ Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А' есть некоторый элемент множе­ ства orf". Нужно показать, что, как бы мало пи было е, существует такой элемент А из ©^Г, что р(Л Л " ) < е . 1 Так как А" есть предельный элемент множества orf\ такой элемент А* из ф£\ что Р(И\ И » ) < у . то существует С другой стороны, так как А есть предельный элемент множества orf, то существует такой элемент А из orf, что Р 1 (Л И')<у. В таком случае, по свойству треугольника, р (А, А") ^ р (А, А) + р (А\ А") < ± + - J = е , что и требовалось доказать.