* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 255 если указано некоторое правило, сопоставляющее с каждым эле¬ ментом X из множества 37 некоторый элемент Y из множества *2/. При этом, вообще говоря, не требуется, чтобы каждый элемент множества W непременно был поставлен в соответствие некоторому элементу множества 37, и не требуется также, чтобы с различными элементами из 37 были сопоставлены различные же элементы из У. Напротив, может случиться, что во множестве У останутся «сво­ бодные», или «лишние» элементы, не сопоставленные ни с какими элементами из 37, или что с различными элементами X и X' из 37 будет сопоставлен один и тот же элемент из При указанных обстоятельствах говорят также об отображении каждого элемента X множества 37 на сопоставляемый с ним эле­ мент Y множества У и об отображении совокупности 'всех элементов множества 37 на совокупность всех сопоставляемых с ними элементов множества У. Описанное отображение общего типа называется однозначным — в противоположность многозначному отображению, при котором с каждым элементом из 37 сопоставляется один или несколько эле­ ментов из У. В дальнейшем речь будет итти лишь об однозначных отобра­ жениях. Отображение множества 37 на множество У называется взаимно однозначным, если выполнено требование, чтобы каждый элемент из У был сопоставлен с некоторым элементом из 37 и чтобы с раз­ личными элементами из 37 сопоставлялись различные же элементы из У; другими словами, если из соотношения /(.Г) = / ( * " ) следует соотношение Х = Х\ В этом случае, обратно, отображение (1) с каждым элементом Y из У сопоставляет некоторый элемент X из 37; именно, единствен­ ный тот, с которым сопоставлен элемент К; другими • словами, существует обратное отображение У на 37: X = g(Y). (2) В частности, если 37 и У— некоторые множества действитель­ ных чисел, мы получаем определение функции одного переменного на множестве Е, рассмотренное в § 46. Чаще всего Е — промежуток, замкнутый или открытый. В следующих параграфах мы рассмотрим ряд примеров отобра­ жений, причём роль элементов множеств 37 и & будут играть не только числа, но и пары чисел, тройки чисел и т. д., вообще системы чисел, а также функции определённого класса, заранее заданные в некоторой фиксированной области.