* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПРЕДЕЛЫ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ФУНКЦИЙ
253
основных операций, служащих дтя получения э л е м е н т а р н ы х ф у н к ц и й , к четырём арифметическим действиям (сложение, вычитание, умноже ние, деление) достаточно прибавить всего лишь потенцирование, логарифми-. рование и возведение в произвольную степень ) . Принимая это во внимание, мы приходим к мысли о справедливости следующего утверждения:
1
Все элементарные функции составляются из независимой переменной в результате повторного применения конечного числа арифметических действий и тех операций, которые, будучи обозначены символом/, являются решениями функциональных уравнений (I—IV).
Отсюда выясняется то значение (конечно, теоретическое), которое имеют уравнения (I—IV) для элементарной математики. П р и м е ч а н и е 2. Из теорем 1—4 предыдущее утверждение, строго говоря, не вытекает по той причине, что при составлении тригонометри ческих функций из показательной согласно формулам (93) приходится прибегать к операции / ( f ) = f'f, тогда как в решении / ( / ) = = mt уравнения (I) постоянная т предполагается действительной. Чтобы обосновать наше утверждение, надо перенести теоремы 1—4 в комплексную область. Есте ственно, что при таком перенесении требование н е п р е р ы в н о с т и заме нится требованием р е г у л я р н о с т и искомой функции / (г). Так, формулируя теорему Г, аналогичную теореме 1, нужно предполагать функцию / регу лярной во всей плоскости и допускать, что соотношение (I) выполняется при всех к о м п л е к с н ы х значениях х и у . Так как из регулярности сле дует днфференцируемость, то доказательство было бы построено далее так, как указано в примечании 1, но при этом постоянная ;// могла бы оказаться произвольной комплексной. Рекомендуем читателю, по прочтении статьи, «Элементарные функции комплексного переменного» (стр. 493—552), попытаться сформулировать, как эту, так и остальные три теоремы, касающиеся решения уравнений (I—IV) в комплексной плоскости, а также восстановить детали доказательств.
1
) Напомним, кстати, что возведение в произвольную степень конструи руется из логарифмирования, умножения на постоянное число и потенциро вания (см. стр. 93).
х
