* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

252 ЭЛЕМЕНТАРНЫГ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО По теореме 4 из (ИГ) следует, что или G(f) = 0 или G (£)==/«. Так как показательная функция в нуль не обращается, то приходится рассматривать лишь вторую возможность. Но если G(t) = t* то при допущении а = 0 мы получаем 0 ( * ) з = 1 , / ( г ) = 0; оставляя эту возможность в стороне, приходим к заключению, что t / ( O = a l g r = log r a (где a = 1 0 ) . a Всё изложенное выше показывает, что функциональные уравнения (I—IV) являются х а р а к т е р и с т и ч е с к и м и соответственно для функций mt, a* 1og t \\ г°; другими словами, эти уравнения могут служить в качестве о п р е д е л е н и я этих функций — при дополни­ тельном требовании н е п р е р ы в н о с т и . t a П р и м е ч а н и е 1. Если вместо непрерывности наложить на функции /(г) требование дифференцируемости (см. стр. 309), то т е м б о л е е заклю­ чения теорем 1 4 остаются в силе. Доказательства теорем при таких усло­ — виях значительно упрощаются. Например, теорема 1 может быть доказана следующим образом. Дифференцируя тождество (I) по переменной JC, мы получаем: f'(X+y)=zf'(x) t и так как у здесь — произвольное, то отсюда вытекает, что f'(x) сводится к постоянной: f'(x) = m. Но тогда интегрирование дагт: С, где С—новая постоянная. Подставляя найденное выражение для f(x) снова в уравнение (I), видим, что при всех значениях х и у f(x) = тх + т {х+у)+С = (тх + С) + {ту + С), откуда следует, что С = 0 н что / (х) = тх. Среди функций, которые мы смогли определить с помощью уравнений (I—IV), не фигурируют т р и г о н о м е т р и ч е с к и е , а также им обратные. Читатель, который пожелал бы составить теорему сложения, например, для функции /(г) = sin/, пришел бы к известной из тригонометрии формуле для «синуса суммы»; но в ней косинусы были бы выражены через синусы, так что формула имела бы следующий, сравнительно сложный вид: f(x+y)=f{x)- s i-/ (y)+/(y)• V i - / 4 r ) A s (можно было бы «избавиться от иррациональности»). Уместно, впрочем, высказать следующие соображения. В теории функций комплексного неременного устанавливается, что тригонометрические функции выражаются, с привлечением мнимой единицы, через показательные, например, ,й д. cosf= C р й g a it , 1*9 + / , sinf = g теряя при этом, так сказать, право на самостоятельное существование; точно так же обратные тригонометрические функции выражаются через логарифмы и радикалы (сы. стр. 511). Таким образом, при перечислении