* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ 251 Пусть / ( 1 ) = а > 0 . Полагая в таком случае /(/) = <*«>, 9(t) = \og f(t). a мы видим, что уравнению (II) можно придать вид т. е. 9 (*+.у) = ?(•*)+? GOЭто — уравнение типа' (1); и из доказательства теоремы 1 сле­ дует, что 9 (t) = mt или f(t) = a . Подставив значение / = 1, убеждаемся, что т=1, так что / ( f ) = а*. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4. Поскольку х и у предпо­ лагаются произвольными положительными числами, можно положить л г = 1 С я , Е = lg дг, У=10\ r, = l g y , mt и тогда уравнение (IV) примет вид Л10^)=/(10 -)/(10ч). Вводя ешё новую неизвестную функцию Р(т)=/(10Ъ мы придадим (IV) вид Так как £ н т —произвольные действительные числа, и функция F(y) непрерывна на всей оси (по теореме о непрерывности слож­ ной функции, вследствие непрерывности функций / ( f ) и 10 ), то на основании теоремы 2 получим: ( т е (IV) (91) F(x) = tf (а^О). В таком случае, заменяя в последнем мы получаем окончательно: если а = 0, тождестве х через Igf, (где tt = lgfl), если а > 0 . Доказательство писать в виде Вводя функцию G(f) = 10™, придадим ему вид G(xy) = G(x)G(y). (ИГ) (92) теоремы 3. Уравнение (111) можно пере­ 10/(*У)=10/(*)10/1У),