* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

244 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО степени х мы не имеем права давать иррациональных значений), показывает, что при всевозможных рациональных значениях х независимо от их знака' имеет место равенство /(*)=**• Таким образом, функция f(x), определяемая в промежутке (—оо, - f ос) соотношениями /(x) = lim + при JC^tO, / W = f( — x) п р И Х < ° 9 при рациональных значениях х равна и вместе с тем при всех значениях х непрерывна. Тем самым закончено построение показательной функции е*. П р и м е ч а н и е . Нетрудно понять, что, желая дать определение пока­ зательной функции а* при п р о и з в о л ь н о м положительном основании а, достаточно было бы в предыдущей формуле заменить х через х 1п а: § 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции Предположим, что функция у =f(x) задана и непрерывна в зам­ кнутом промежутке I[a, Ь\. Тогда по теореме Вейерштрасса (§ 47, III) она достигает в каких-то точках этого промежутка своего наимень­ шего значения А и своего наибольшего значения В. Исключая слу­ чай А = В (когда функция сводится к постоянной), мы можем утверждать также на основании теоремы Больцано (§ 47, I), что в промежутке / функция fix) принимает — и, возможно, неодно­ кратно— любое значение и., заключенное между А и В. Итак, каково бы ни было значение у (А^у^В), уравнение (относительно х) f(x)=y (73) имеет по крайней мере один корень в промежутке а^х^Ь. Сопо­ ставляя с каждым значением у из промежутка (А, В) все те зна­ чения х, которые являются корнями уравнения (73), мы получаем —• вообще говоря, многозначную — о б р а т н у ю функцию x = g(y) t (74) которая задана в промежутке А^.у^В и в каждой его точке имеет по меньшей мере одно значение. Весьма существенно уметь выделять те случаи, когда обратная функция x=g(y) оказывается о д н о з н а ч н о й . Достаточные усло­ вия для этого дайт теорема: