* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

242 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО значений, принимаемых этой функцией в рациональных точках, всюду плотно. Пусть дан промежуток (а, р), причём 0 < а < р. Так как то можно подобрать целое число п таким образом, что иоткуда следует а Легко понять, что хоть один из членов прогрессии <г*> т * 1 я> я* » 1 чу п попадает в промежуток (а, £). Предположим, что таким членом будет (f , так что или т 1 а<а л что и требовалось доказать. П р и м е р 2. В примере 2 § 46 множество К заданных значений функ­ ции f(x) всюду плотно в промежутке (0, 1). В самом деле, обозначая через Кп множество значений, принимаемых функцией f(x) в рациональных точках со знаменателем ^ 2 " , мы видим, что самый большой из промежутков, обра­ зованных на отрезке (0, 1) точками К имеет длину п П а Пусть (я, (i) —за­ данный промежуток ( 0 ^ а < р ^ 1 ) ; возьмём п удовлетворяющим условию ^ | < Р — » тогда на промежутке (а, р) непременно найдётся хоть одна точка множества К и, значит, множества КП р и м е р 3. В примере 3 § 46 множество К заданных значений функ­ ции f(x) также всюду плотно в промежутке (0, 1). Предлагаем читателю доказать это в качестве упражнения. п Укажем, наконец, ещё третий способ построения показательной функ­ ции— посредством равномерного приближения многочленами. Возвращаясь к многочленам Я„ (*) = ( l + ( * = 1,2,3,...), рассмотренным в § 45, убедимся, что во всяком промежутке вида (О, R) ( Я > 0 ) последовательность { Р„(х) } равномерно стремится * некоторому пределу.