* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Г Л А В А IV ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ § 45. Простая сходимость Говоря о последовательностях ч и с е л [а \ мы установили (§ 38) взгляд на переход к пределу (а ^а) как на о п е р а ц и ю , позволяющую иногда по данным числам а (п=\ 2, 3 , . . . ) по­ строить новое число а называемое пределом последовательности: п 9 п п 9 9 а = lim а . п Переходя теперь к рассмотрению последовательностей функций позволяющую и н о г д а по данным функциям / ( д г ) ( я = 1 , 2, 3 , . . , ) построить новую функцию — предел последовательности данных функций / ( * ) = lim/„(*). (2) я К вопросу о сходимости последовательности функций можно подходить с различных точек зрения. Мы установим сначала более общее понятие простой сходимости и лишь позже (см. § 48) обра­ тимся к более специальному (и практически более важному) поня­ тию равномерной сходимости. Можно рассуждать так. Задавая в некотором промежутке / по­ следовательность функций (1), мы задаём бесконечное множество числовых последовательностей: именно, если х есть какое-нибудь значение х из промежутка /, то с каждым таким значением сопоста­ вляется числовая последовательность 0 {/*(*f)}=/j(*«)» / • ( * • ), ••. i (3)