* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 193 так что COSJC]> I — е . Но тогда, как следует из (91), 1 - . < ^ < 1 . и значит, I Таким образом, в данном случае существует правый предел / / = 1; существование левого предела U и равенство L' = L " = l следуют из чётности функции X I sin дг — 1 х Особого внимания заслуживает вопрос о непрерывности по­ казательной функции. Показательная функция f(x) = a* непрерывна всюду. Убедимся в этом, ограничиваясь случаем a ^ > l ) : если а < ^ 1 , то достаточно будет указать, что а = ^ -iy сГ ^>1. Мы уста­ новим сначала, что существует п р а в ы й предел L " функции а в точке х = с и притом L" = a. (92) Пусть х ^>с х ->с\ тогда J х и 1 a х c п 9 л Положим x = c-\-h *>0. ношения n n а* = а'.а"~\ (Щ Нам достаточно показать, что из соот­ 0 (94) (какова бы ни была последовательность положительных чисел {h }) следует соотношение h а 1. В таком случае правая часть, а значит, и левая, в равенстве (93) имеют предел а . Рассмотрим последовательно несколько случаев: 1) Допустим, что h = ^ и докажем, что n с n t /а->1. (95) На стр. 81 мы имели неравенство (при а ] > 1 ) а >1+(а—1)л. Придадим ему вид а— 1 < п *) Следующее ниже доказательство одинаково применимо к случаю, когда рассматриваются лишь рациональные значения х , и к более общему случаю, когда рассматриваются какие угодно действительные значения х . Что касается о п р е д е л е н и я показательной функции а при иррациональ­ ных значениях х , а также соответствующего распространения её свойств, то по этому поводу см. § 51. п х я 13 днцшслоиедия, ни. 3.