* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

176 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Но нельзя ответить в обшей форме («раз навсегда»), например, на такие вопросы: 1) Что будет с разностью а — Ь , если д - * о о , £ - » - о о ? 2) Что будет с произведением а Ь„, если а - * о с , Ь ->0? п п я я п я п 3) Что будет с отношением 4) Что будет с отношением если а - * о о , £ - * о о ? я я если а ->0, п Ь ->0? п Каждый из вопросов подобного рода получает разрешение только в том случае, если указано, каковы именно данные после­ довательности \а ] и \Ь ). Очень часто простое тождественное пре­ образование приводит к положениям, когда одна из теорем типов I—IV уже оказывается применимой ) ; но иногда всё же приходится прибегать к особому исследованию (примеры см. ниже, §§ 43—45). п п ! § 40. Предел функции на бесконечности К понятию п р е д е л а п о с л е д о в а т е л ь н о с т и сводится по­ нятие п р е д е л а ф у н к ц и и . Рассмотрим сначала случай предела функции «на бесконечности» (-{- оо). Предположим, что некоторая функция f(x) действительной пе­ ременной х задана (не теряет смысла) в некоторой окрестности точки (-|- оо), например в промежутке (а, оо). Мы уже имели дело с последовательностями, общий член которых а имеет вид f(x ), где х = т \f(n)\ = / ( 1 ) , / ( 2 ) . . . . , / ( « ) , п n п Пусть теперь {х } — какая угодно последовательность значений х из промежутка (а, оо), имеющая предел - | - оо: п * „ - + оо. Если последовательность соответствующих значений функции {/(*„)} =/(*,), 2 (52) f( ) Xi /(*„). также стремится к некоторому пределу L , конечному или беско­ нечному ) , fixJ^L, (53) и притом независимо от того, как выбрана последовательность \х ], обладающая свойством (52), то тогда говорят, что при неп ) Распространённый термин «раскрытие неопределённостей» (случаи: оо — оо, оо-О, ~ -^-j способен вносить некоторую дезориентацию, так как «неопределенность» заключается лишь в невозможности непосредственного применения какой-либо из основных теорем. ) Условимся пользоваться большой буквой L для того, чтобы охватить сразу оба эти случая. t fi г