* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

170 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО п п о пределе а ~\~Ь . Следует, впрочем, заметить, что .возможны случаи, когда о б а предела о и Ъ ие существуют, а предел а ~\- Ь существует ). Аналогичные замечания справедливы и по поводу теорем 11 — IV. 1 п п п п Докажем сначала теорему 1. Нам дано, что при достаточно больших значениях п отклонение \а — а\ делается сколь угодно малым, и то же относительно \b — Ь\; требуется доказать то же самое по поводу отклонения | + — ( ~\-Ь)\. Мы имеем по свойству абсолютной величины ) п n а а \&п + Ь )-{а п + Ь)\ = \(а -а) п + (Ь -Ь)\^\а -а\ п п + \Ь -Ь\. п Пусть задано наперёд число е О О ) . Тогда можно подобрать такое что при «}>Л/£ и такое N1', что при я ^ > Л ^ \ь -ь\<^. п В таком случае, обозначая через TV. наибольшее из чисел Л£ и Щ будем иметь при n^>N : t 9 |( f l n + * )_( n f l + 6 ) [ ^ ] a n _ f l | - f \ K - b \ < Y + Y = ' 6 что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему I I I . При тех же данных, что и в тео­ реме I , требуется доказать, что при достаточно больших значениях п отклонение \a b — ab\ станет меньше любого наперёд заданного е (^> 0). Мы имеем: n n a n n — ab = (a — a)b + a(b — b) + (a — a)(b — Ь), b n n n n и по свойствам абсолютной величины ^)а -а\.\Ь\ п + \а\.\Ь -Ь\ п + \а -а\.\Ь -Ь\. п а (41) *) Например, последовательности 1,-1, 1,-1, 1,-1, - 1 , 1 , - 1 , 1, - 1 , 1, . . . расходящиеся, тогда как «последовательность-сумма» О, 0, 0, 0, 0, 0 , . . . сходящаяся. •) Мы имеем в виду свойство U + . v l ^ l * l + Lvi. Далее используется ещё свойство l*y| = l*M.V|. См. Э-э.м., кн. 1, формулы (1) и (2) на стр. 128—129.