* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 171 Пусть К—наибольшее из чисел конечно, допустить по поводу е, что | а | , \Ь\ и I ) ; достаточно, 1 Тогда, подобрав Л£ и Л/J таким образом, что К — а\<щ и 'l*»-*l<3ic п р и n > N 1 при n>N' t ' мы будем иметь при n^>N , M где /V. = maxf/V , Л/J.'}: e [вп-в|-1*И-|в|-1»--*1 + |в«— Сопоставляя (41) и (42), получаем то, что требовалось доказать. Отметим частный случай теоремы III (при {а \ = {а}): если b —*b то ab ^ab («постоянный множитель можно выносить за знак предела»). В частности, при а = — 1 получается: если b -*b, ( — * л ) ~ * * ( — О т с ю д а сейчас же вытекает теорема I I п n 9 n n a n — n = a + (—bn)^a n 2 b + (— b) = a — b. то Переходя к теореме I V ) , докажем сначала её частный случай, когда {а } = {1}: если b -^b^=0, я n Составим отклонение J- от 4-: ъ ъ \ l — JAzrAL /43) К Ъ \Ьп\ЛЬ\ • ^ Отклонение \Ь — Ъ\ при достаточно больших значениях п стано­ вится меньше любого положительного числа; например, оно станет п п меньше, чем \ *- \<7Г Но \Ь\ = \ф-Ь1+Ь \^\Ь-Ъ \ Л я Ь Ь (при « > / V ' ) . + — \Ь \. Я \Ъ \ я 9 так что \Ь — Ь \^\Ь\ Я а *) Последнее нужно на случай, если я = £ = 0. ) Заметим, между прочим, что текст теоремы IV нуждается в допол­ нительном разъяснении: из неравенства ЬфО вытекает, что при достаточно больших п величины Ь отличны от нуля; таким образом, последовательность п j ^ - j может содержать лишь конечное число членов, не имеющих смысла; их следует отбросить или заменить какими угодно числами.