* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

168 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО В самом деле, задав себе какую-нибудь е-окрестность точки а, мы видим из соотношения (38), что все члены последовательности а , начиная с индекса N + Ь удовлетворяют неравенству п Вместе с тем среди конечного числа членов а а^, ... , a можно выбрать наибольший; обозначая затем через М любое число, превышающее как этот наибольший член, так и число о + . * мы будем иметь при в с е х значениях п неравенство а <М, и N с п откуда следует ограниченность сверху. Подобным же образом устанавливается и ограниченность снизу. На «переход к пределу» («предельный переход») можно смот­ реть, как на некоторую о п е р а ц и ю . С арифметическими опера­ циями предельный переход имеет общее, но кое в чём от них за­ метно отличается. Как и в арифметических операциях, здесь по дан­ ным числам составляется новое число a = l i m c ; как и в арифметических опе­ рациях, данными числами вновь составляемое число определяется однозначно. Но операция перехода к пределу далеко не всегда «возможна» (данная последовательность чисел может не иметь пре­ дела). Далее, «данных» чисел должно быть не два (или конечное чи­ сло, как в случае сложения или умножения), а бесконечное мно­ жество; притом весьма замечательно, что в результате отбрасыва­ ния или добавления или замены к о н е ч н о г о числа членов после­ довательности не изменяется сходимость последовательности ') и не изменяется её предел (если он существует). В самом деле, если точка а есть единственная предельная точка последовательности {а }, то она, несомненно, будет единственной и для видоизменённой (указанным способом) последовательности. Весьма важно, что отбрасывать можно и б е с к о н е ч н о е мно­ жество членов последовательности — лишь бы оставлено было также бесконечное множество. Именно, справедливо следующее утвер­ ждение: Пусть n л {Рп) — Р*> Р*> > Рп>--- есть некоторая возрастающая последовательность целых поло­ жительных чисел. Тогда, если предел последовательности \а \ су ществует п *) То есть сходящаяся последовательность остается сходящейся, расходя­ щаяся — расходящейся.