* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ 167 В примере 4 всё обстоит так же, как в примере 1, поскольку | ( - '>" | _ 1 I \ * В примере 5, полагая а = aq ~ мы должны иметь | а | • | q J"" < Ч , что равносильно +А п п n l 1 п t п> г - ^ + Ь Таким образом, N должно быть не меньше, чем правая часть этого неравенства. Из приведённых примеров видно, как следует понимать зависимость числа N, упоминаемого в определении предела, от числа е. Нужно, впрочем, заметить, что на практике, если требуется найти предел данной последова­ тельности, то прибегать к сэпсилонным» рассуждениям не приходится, так как, основываясь на теоремах, излагаемых ниже, почти всегда удаётся сво­ дить более сложные случаи к более простым. Лишь редко подобного рода сведение оказывается невозможным, и тогда «эпсилонные» рассуждения слу­ жат средством доказательства. Следующей теоремой придётся не раз пользоваться в дальней­ шем: Из всякой ограниченной последовательности можно «выделить* сходящуюся последовательность. Это значит: если последовательность \а \ — ограниченная, то можно указать такую возрастающую последовательность целых по­ ложительных чисел {р \, что последовательность \а> } будет иметь предел. Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме Больцано-Вейсрштрасса (§ 36) последовательность \а \ имеет хоть одну предельную точку, напри­ мер а. По определению предельной точки, во всякой е-окрестности точки а имеется точка последовательности \а \. Пусть {е } — после­ довательность положительных убывающих чисел, сходящаяся к нулю. Для каждого е ( л = 1 , 2, 3, . . . ) подберём член данной последова­ тельности а , находящийся в е -окрестности точки а: п п Рп п п я п Рп я \а Рп — а|<е п (л = 1, 2, 3, . . . ) ; (40) при этом, подбирая члены последовательности а один за другим, можно позаботиться, чтобы каждый следующий индекс р был больше предыдущего р . Из соотношений (40) сейчас же следует, что а ^а. п+1 п Рп П р и м е ч а н и е . Мы рассматриваем в этом параграфе лишь ограничен­ ные последовательности; заметим, однако, теперь же, что неограниченная последовательность не может иметь конечного предела, т . е. если после­ довательность {а } имеет конечный предел а, то она непременно — огра­ ниченная. п