* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
159
Всякая ограниченная бесконечная последовательность {а \ имеет по крайней мере одну предельную точку. П р и м е ч а н и е 1. При доказательстве теоремы Больцано-ВсЙерштрасса то обстоятельство, что множество рассматриваемых чисел а ( я = 1 , 2, 3,...) может быть расположено в порядке последовательности, т. е. что оно — с ч ё т н о е (см. Э. э. м., т. I , стр. 92), не играет никакой роли. Поэтому теорема справедлива не только для последовательности чисел, но и д л я л ю б о г о б е с к о н е ч н о г о м н о ж е с т в а ч и с е л Е, заключённого в дан ном конечном промежутке. П р и м е ч а н и е 2. Определение предельной точки множества Е можно видоизменить следующим образом: точка с называется предельной точкой данного множества Е если в любой сё сколь угодна малой окрестности имеется х о т ь о д н а точка этого множества, отличная от точки с. В самом деле, если верно, что в любой окрестности точки с содержится хоть одна точка данного множества Е, то верно и то, что в любой окрестности их содержится сколько угодно. Пусть, например, (с—е, с + ) есть данная е-окрестность точки с. Выберем в ней точку с данного множества Е, отлич ную от с, затем возьмем е-окрестность точки с, подчиняя е условию i < I i — с |, и в этой е окрестности (с — е. с + ч) выберем новую точку с множества Е, отличную от с; затем возьмём е -окрестность той же точки с, подчиняя е условию е, < | с — с |, и в этой е -окрестности (с — e , С + Е ) выберем третью точку с данного множества Е, отличную от с, и т. д.
п п ш е х e c 2 г и я я а я я s а в
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка
Различные последовательности могут иметь то или иное число предельных точек; существуют также последовательности, обладаю щие бесконечным множеством предельных точек. Заметим ещё, что предельная точка может «принадлежать» последовательности, т. е. входить в состав её членов (может быть, даже неоднократно), или
" " • " i i i I j
4
ilg ft
I I I •
0
Of H$ttgIimAllI!Ld.6f Or
I ' '
1
Oj ttf
1—
-/
0
1
1 1
ffj
-/
»"" •
'
i
0
— \
urn j
f
Рис. 68. не принадлежать ей. Разнообразие мыслимых возможностей видно из приведённых ниже примеров. Читателю рекомендуется при рас смотрении примеров пользоваться геометрическим представлением, изображая члены последовательности в виде точек на числовой оси. 1. Последовательность 1 1 1 \nf— ' 2 3 ' 4 » имеет одну предельную точку 0 (рис. 68, а).
9
Ш = 1
