* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 121 П р и м е ч а н и е. Легко проверить, что теоремы 1,11, III и IV обратимы. Для теорем I I , III и IV это устанавливается непосредственно; что касается теоремы I , то достаточно указать на тождество (149). Таким образом, теоремы I—IV дают условия, необходимые и достаточ­ ные для того, чтобы функция могла быть представлена в той или иной из рассмотренных форм. § 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения Теоремы I , I I , I I I и IV, изложенные в предыдущем параграфе, и родственные им теоремы в § 28 (см. 1 и 3) открывают воз­ можности для элементарного исследования функций, рационально зависящих от основных тригонометрических. Если с помощью вве­ дения новой независимой переменной — одной из основных триго­ нометрических функций или тангенса половинной дуги — удаётся свести данную функцию к рациональной функции от новой пере­ менной, то тем самым, поскольку поведение основных тригономе­ трических функций можно считать известным, имеются основания судить и о поведении данной сложной функции (см. § 5, п. 9). Те же теоремы полезны и при решении тригонометрических уравнений. Главная трудность при решении уравнений заключается в том, чтобы, «алгебраизируя» их, удачно выбрать новую перемен­ ную. Теоремы позволяют сделать выбор по простым формальным признакам, чем обусловливается направление дальнейших тождест­ венных преобразований. Следует отметить, что если переход к новой переменной t — ig~ позволяет всегда произвести рационализацию f (это, так сказать, «универсальная» подстановка), тем не менее в случае, если возможна одна из подстановок и = cos x v = sin х или w = tgx, то вновь получаемая рациональная функция, как правило, оказывается проще; поэтому можно рекомендовать к «универсаль­ ной» подстановке прибегать лишь «в крайнем случае». Обратимся к примерам на исследование функций. П р и м е р 1. у =/(*) = 3 + 2cosjc" Эта фувкция — рациональная относительно a = cosjc. При неограниченном изменении х переменная и меняется в пределах от — 1 до + U и функция З-f 2ы в этом промежутке [как и всюду, кроме точки разрыва и=—^ убывающая (см. § 5, п. п. 1, 2, 7). Поэтому функция y = / ( x ) убывает в тех иромежутках, где cosx возрастает, и возрастает в тех промежутках, где он убывает (§ 5, п. 9). Так как функция f(x) чётная, то достаточно рассмотреть