* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

86 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО раясь на § 5, п. 6, 1, 7 и 4), из записи мы видим, что при неограниченном возрастании х функция h (лг) возрастает и притом приближается к 1. Из свойства симметрии видно, что h(x) возрастает на всей оси и что, если дг неограни­ ченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицатель­ ным, то h(x) приближается к — 1 . Для функций f(x), g(x) и h(x) приняты (обычно — только при а = е = 2,718... , см. § 44) обозначения и наименования: / ( j t ) = chJt («косинус гиперболический») ), g(x) = $\\x («синус гиперболический»), h(x) = \bx («тангенс гиперболический»). В этих обозначениях тождества (77) — (80) принимают вид ch** — s h j c = l , ch (xf + x") = ch xf ch x - f sh xf sh дг", sh (xf - f xT) = ch xf sh x" - f sh xf ch xf' % t h n 2 1 (81) (82) (83) < > 84 * = S f Здесь ясно видна формальная аналогия с обыкновенными («круго­ выми») функциями cos JC, sin Л: И igx\ отсюда происходят наименова­ ния «косинус», «синус», «тангенс» ). Что касается термина «гиперболические» функции, то он объяс­ няется следующим образом. Как известно из тригонометрии (см, также § 25), функции 3 X = cos x f Y = sin x удовлетворяют тождественно уравнению Х* + К* = 1. Последнее уравнение (в плоскости OXY) представляет окруж­ ность, и потому эти функции называются «круговыми». Совершенно *) Для краткости будем в этом параграфе функции f (х), называть гиперболическим косинусом», «гиперболическим «гиперболическим тангенсом» при любом а ( а > 0 ) . *) Тождества (82) и (83) называются «теоремой сложения» лических функций сЬдг и sh*). ) Причина возникновения формальных аналогий между гиперболическими функциями объяснена на стр. 507—508. 8 g(x) и h(x) синусом» и (для гипербо­ круговыми и