* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ 53 Так как трехчлены вида x*-{-px-\-q постоянно сохраняют поло­ жительный знак, то знак многочлена у зависит исключительно от знаков множителей вида (х—а)\ Предположим для определенности, что корни а, р , . . . располо­ жены в порядке убывания: а > р > у ] > . . . ; представим себе теперь, что независимая переменная х постепенно убывая, проходит через значения х = а, х = ф,... Пока х больше, чем а, все множители нашего произведения положительны; значит, положительным остаётся и сам многочлен. Но когда х прошло через значение а, разность х—а становится отрицательной; сохраняет ли при этом множитель (х — а ) прежний знак или меняет его — зависит от того, является ли кратность X чётным или нечётным числом. Так продолжается и дальше, при прохождении х через значение Р и т. д. Из этих соображений вытекает такой результат, касающийся графика нашего многочлена: график располагается выше оси Ох а при х^>а\ он расположен выше или ниже оси Ох при Р<С-^<С» смотря по тому, является ли кратность X чётной или нечётной. При 1<С-х<С$ У зависит от чётности X — р. и т. д. Сумма сте­ — ( пеней всех множителей в формуле (19)X — р —{— v —|—... — 2 р - [ - . . . — J — ( равна степени п данного многочлена. Если п — чётное, то левее наименьшего из корней (как и правее наибольшего) график лежит выше оси Ох\ если п — нечётное, то левее наименьшего из корней он лежит ниже оси Ох. Это справедливо при любом положительном коэффициенте а; при отрицательных а всё происходит наоборот. Отметим, что в точках, являющихся простыми (т. е. первой кратности) корнями данного многочлена, график пересекает ось Ох без касания; в точках, являющихся корнями чётной кратности, имеет место касание без пересечения с осью; а в точках, являющихся кор­ нями нечётной кратности, начиная с третьей, имеет место касание с пересечением (как и для функции у = х ). Строгое доказатель­ ство читатель легко мог бы провести, пользуясь методами диффе­ ренциального исчисления. Возрастание и убывание многочлена общего вида поддаётся эле­ ментарному исследованию лишь в частных случаях. Преобразование 9 х э т о ж е п ^ = а - П ( 1 + 7 + -+^ + ^) (20) показывает, что при неограниченном возрастании \х\ абсолютная величина функции у также возрастает неограниченно, и тем быстрее, чем больше степень п. При исследовании многочленов возможны упрощения в том слу­ чае, если данный многочлен представляет собой чётную или не­ чётную функцию. Легко понять, что многочлен есть чётная функция переменной х в том (и только в том) случае, если он содержит лишь чётные степени х, и нечётная функция переменной х в том (и только в том) случае, если содержит лишь нечётные-степени х,