* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ 307 Повторим для корня х те же рассуждения, что и для лг,. Так как лг выражается через радикалы р , , . . . , р л _,, то мы получим, что лг, и JC лежат в Д ( р , , . . . , р*_ 2 )- Но это невозможно, так как х не лежит уже в Д ( р , , . . . , p f e _,). Применим изложенное к следующим задачам на геометрические построения. Задача об удвоении куба, как известно, сводится к уравнению третьей степени А 3 2 х f(x)=x* — 2= 0 (2) с рациональными коэффициентами. Это уравнение, однако, не имеет рациональных корней. Следовательно, уравнение (2) нельзя решить в квадратных радикалах, и потому задача об удвоении куба нераз­ решима с помощью циркуля и линейки. Обратимся теперь к знаменитой задаче о трисекции угла. Она заключается в следующем. Пусть дан угол а; требуется его разде­ лить на три равные части. Посмотрим, к какому алгебраическому уравнению можно свести эту задачу. Обозначим искомый угол через 9. Тогда cos а = cos З9 = 4 cos 9 — 3 cos 9. 3 Поскольку угол а дан, мы можем считать его косинус также за­ данным. Поэтому полагаем coso = - | , a cos 9 обозначаем -у. Таким образом, через или окончательно: f(x) ^ л г — Злг — Ъ = 0. . В этом случае 6 = 1 , и мы получаем 3 3 Возьмём, например, а = уравнение л; —Зх—1=0 с рациональными коэффициентами. Легко убедиться, что это уравне­ ние не имеет рациональных корней. Стало быть, угол a = -g- нель­ зя разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. Относительно уравнений четвёртой степени справедлива сле­ дующая Т е о р е м а 46. Пусть Г(х)=х -^а,х ^\-а^х^а х-{-а, г л а = 0 Если кубическая (3) резольвента -—уравнение 20» четвёртой степени.