* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

308 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ этого уравнения имеет в Д хотя бы один корень, то корни уравнения (3) выражаются через квадратные радикалы. Обратно, если корни уравнения (3) выражаются через квадратные радика­ лы, то резольвента имеет по меньшей мере один корень в Д. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть кубическая резольвента уравнения (3) имеет в Д корень у . Тогда на основании известных преобразо­ ваний (см. § 5) получаем 0 /(х) где = ( * + -J- ах 2 - (Ах + В)*, А^ = ~ — b + 2y Qi B*=yb — d, 2АВ = ау — с. 0 Таким образом, корни уравнения (3) будут выражаться через квад­ ратные радикалы, возникающие при решении квадратных уравнений +Л)*+Су Х 0 + Я) = 0, О (4) (5) * + ( ° - - А } Х + ( У - В ) = 0. Обратно, пусть корни уравнения (3) выражаются через квадрат­ ные радикалы. Тогда, обозначая через JC,, Х корни уравнения (4) и через х , х — корни уравнения (5), получаем; 2 ъ Л xx t 2 =у 0 - f В, x*x =у k 0 — В. Отсюда находим, что У н = 2 (*i 2 x Ч~ х з ь)' х Но корни уравнения (3) все выражаются через квадратные радика­ лы. Следовательно, у также выражается через квадратные радика­ лы. Таким образом, если 0 у + j/*-\-by-\-c a = 0 (6) — кубическая резольвента уравнения (3), то в силу произвольности y все её корни выражаются через квадратные радикалы. Итак, кубическая резольвента (6) разрешима в квадратных ради­ калах, а потому она по теореме 45 должна иметь по меньшей мере один корень в Д. С л е д с т в и е . Уравнение четвёртой степени с рациональными коэффициентами тогда и только тогда разрешимо в квадратных радикалах, когда его кубическая резольвента имеет по меньшей мере один рациональный корень. Теорему 46 можно дополнить следующим предложением. Т е о р е м а 47. Если многочлен четвёртой степени Q / ( . V ) = A -| и х -\ к ] a x -\-а^х-\-а t ! к