* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

298 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ГОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Для завершения нашего изложения остается привести конкрет­ ный пример уравнения степени п ^ 5 с симметрической группой. Для этой цели отметим некоторые факты из теории групп под­ становок, не вдаваясь в детали. Пусть G— некоторая группа подстановок /г-й степени. Возможны два случая: 1) в группе G существуют подстановки, переводящие число 1 в любое заданное число k(k=l 2, , п); 2) подстановки группы G перемещают 1 не во всякое заданное число k. В первом случае группа G называется транзитивной, а во втором случае — интранзитивной. Роль транзитивной группы в теории алгебраических уравнений видна из следующей теоремы: Т е о р е м а 40. Если уравнение п-й степени F(дг) = AQX"-|-Л^' -f- . . . - \ - А = 0 (A — комплексные числа) неприводимо над своей областью рациональности Д, то группа такого уравнения транзитивна. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если многочлен F(х) неприводим над полем Д, то по теореме 32 в группе уравнения наверное найдутся подстановки, переводящие корень а, в любой другой корень а уравнения F(x) — 0, чем транзитивность группы и обнаруживается. Мы воспользуемся следующим свойством транзитивной группы: транзитивная группа простой степени р, содержащая транспози­ цию, является симметрической группой. П р и м е ч а н и е . Транспозицией называется подстановка, пере­ мещающая только д'ва числа, т. е. подстановка вида r 1 П T н Обычно транспозиция, перемещающая числа г, у, обозначается сокра­ щенно символом (г, у). Пользуясь этим свойством транзитивной группы, мы сейчас дока­ жем такую теорему: Т е о р е м а 41. Всякое уравнение простой степени р^Ъ с рацио­ нальными коэффициентами, неприводимое над полем рациональных чисел и имеющее лишь одну пару чисто комплексных корней, не¬ разрешимо в радикалах. Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме 40 группа такого уравнения F(x)=^0 есть транзитивная группа. Она к тому же является группой простой (р-й) степени. Пусть а^—а-^Ы и а% = а — Ы — чисто комплексные корни уравнения; остальные корни а , о , . . . , а согласно условиям тео­ ремы должны быть действительными. Рассмотрим какое-нибудь рациональное соотношение э 4 р (7)