* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ 289 f(x) мы будем всё время подразумевать такой многочлен над изо­ морфным полем Р , на который отображается /(лг) при изоморфизме Р[лг]Е^Р[лг], упомянутом в теореме 30. Отметим ещё, что если р(х) — многочлен, неприводимый над Я, то согласно теореме 30 многочлен р (х) также неприводим над Р. Т е о р е м а 31. Если Р и Р—изоморфные числовые поля, 6 — корень многочлена р (х), неприводимого над Р, и Ь — корень много­ члена р(х), то изоморфизм Р ^ Р можно продолжить до изо­ морфизма P ( G ) = P ( 6 ) , при котором 6 будет отображаться на В. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть степень многочлена р(х) равна k* Тогда произвольный элемент 7 алгебраического расширения Р(Ь) будет единственным образом выражаться в виде 7 = а — aG — . . . — л _ 6 — | — | — | 0 t #Е-1 А 1 (a — элементы из Р) f (см. замечание на стр. 229). Пусть при изоморфизме Р ^ Р эле­ мент a отображается на а . Поставим элементу 7 в соответствие элемент 7 = а + i ^ + ~\~ ь-$ ~ ^ t г a а к 1 п о л я 0 1 = «в + < Ч в + Г + **-i^ ^T = ^ + *i4- — 1 (9) + ^ 6 + ... +* _e - , то ft i Покажем, что соответствие (9) является изоморфизмом Р ( 6 ) ^ Р(6). Пусть какой-нибудь элемент 8 расширения Р ( 6 ) отображается на тот же самый элемент, что и у: 8-^7. Тогда, если 8 = ft -ffe 1 0 Но многочлен р(х) неприводим над Р. Следовательно, 7 должно единственным образом выражаться в виде многочлена от G степени, не превосходящей k—1, и с коэффициентами из Р. В силу этого а^ = Ь , a = b a _ — b _ . Отсюда благодаря изоморфизму Р = Р получается, что a = £ , a — b . . . , a^_ = b _ т. е. 8 = 7, Очевидно, что для всякого элемента 7 из Р ( 6 ) можно указать в Р ( 6 ) такой элемент 7, которому 7 и ставится в соответствие. Всё это вместе взятое означает, что (9) есть взаимно однознач­ ное соответствие между Р ( 6 ) и Р ( 0 ) . Возьмём теперь из расширения Р(0) два произвольных элемента 0 l lt k i k 1 0 0 1 lt 1 k u Этим элементам в алгебраическом расширении Р(Ь) будут соот­ ветствовать Т, = a + a,S + ft . . Н- а„_Гб* \ т* = h -\- ^ 6 + . . . + ^..в*"». 19 Энциклопедия, к н . 2.