* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

288 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Мы видим, что при изоморфизме Д ^ Д попрежнему отображается в матрицу действительное число а Следовательно, изоморфизм Д = Д есть ма продолжение изоморфиз­ К^К. Отметим следующие свойства продолжения изоморфизма: Т е о р е м а 30. Если Р и Р — изоморфные поля, то кольцо многочленов Р [х] можно изоморфно отобразить на кольцо много­ членов Р[х] так, чтобы изоморфизм Р[х]^Р[х] являлся про­ должением изоморфизма Ро^ Р. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть при изоморфизме Р=Р элемента поля Р отображается на элемент а поля Р: а—>а. Тогда произ­ вольному многочлену f(x) = a ~\~a x-\... -\-а х из Р[х] можно поставить в соответствие многочлен f(x) = а - | - а д : -)...-\-а х из Р[х]: т 0 l т т 0 1 т f (х) = а + а х +... 0 х + а т ^ -+ J (х) = ~а + а х +... 0 х + ~а ^. т (8) Читатель может без труда проверить, что (8) является взаимно однозначным соответствием между Р [х] и Р[х]. Покажем, что соответствие (8) является изоморфизмом колец Р[х] и Р[х]. В самом деле, если g (х) = Ь -|- Ь х — еще один произвольный многочлен из P[JC], то 0 х ffC*) = *o + * i * - | Пусть, например, l^m. + * ^ " * f f W = *o + M + Тогда + где c = a -\- b причём в случае 1<^т надо положить Ь = = Ь = 0. Отсюда t t it п1 т ... = f(x)^g{x)^c ^ x Q 1 + +~^=f{x) + g{x). Аналогично можно убедиться, что f(x)g(x)-+f(x)g(x). Остаётся показать, что изоморфизм Р[х]^Р[х] есть продол­ жение изоморфизма Р ^ Р . Обращаемся к многочлену f(x) = a где а — элемент Р . Для него соответствие (8) принимает вид а-+а. Мы видим, что при изоморфизме Р [ д ; ] ^ Р [ л г ] элемент а поля Р попрежнему отобра­ жается на элемент а поля Р . Переходя ко второму свойству продолжения изоморфизма, от­ метим, что если f(x) — некоторый многочлен над полем Р , то под t