* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

282 lf КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ в r$(a . . . , а ) = 0. Следовательно, произведение s s не нарушает ни одно из рациональных соотношений между корнями уравнения (1), в силу чего SjSg должно также принадлежать G. Так как G— конеч­ ное множество, то отсюда следует, что G образует группу. Эта группа G носит название группы Галуа уравнения (1) над полем Р или короче группы уравнения (1) над полем Р, В тех случаях, когда Р есть область рациональности уравнения, слова «над полем Я» обычно опускаются. П р и м е р 1. Найдём группу квадратного уравнения п t 2 х*-\- х-\-д Р = 0 (2) с рациональными коэффициентами, имеющего два различных дей­ ствительных иррациональных корня а и сс . Очевидно, что в данном случае Р есть поле рациональных чисел. Далее, всякое рациональное соотношение г (а а ) = 0 между корнями уравнения (2) можно предполагать целым рациональным, так как а и а являются алгебраическими числами (относительно поля рациональных чисел). Кроме того, мы можем предположить, что в соотношение r(a ct ) = 0 каждый из корней а сс входит со степенью, не превосходящей 1, так как в противном случае мы могли бы с помощью уравнения (2) понизить степень соответ­ ствующего корня. Таким образом, соотношение г(а а ) — 0 можно записать в виде 1 2 и 2 х 2 it 2 19 2 и 2 r( if (а, b t a а ) = аа а + *а + са -|-<'==0 а 1 а 1 й с, d — рациональные числа). l 2 Но по формулам Вьета a a = q. Следовательно, полагая aq~\-d = m* имеем: Так как а —— р — а,, то получается, что 2 r(«i, а ) = ( 0 — с) а -\-(т— 2 х рс) = 0. 1х Если бы b — сфО, то мы имели бы. что о. =Щ-——, а это не¬ ' Ь—с возможно, так как а иррационально. Следовательно, b — с = 0, в силу чего соотношение r(a а^) — 0» принимает такой оконча­ тельный вид: Г(а„ а ) = ^ ( а - | - а ) - | - т = 0. (3) х lt 2 1 а Соотношение (3), очевидно, не нарушается (даже остаётся одним и тем же) при любой подстановке симметрической группы £ второй степени. Следовательно, 5 и есть группа уравнения (2). К понятию группы уравнения можно подойти и с несколько иной точки зрения. Назовём автоморфизмом нормального поля Q 2 2