* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ 281 § 17. Группа алгебраического уравнения Доказанная в предыдущем параграфе теорема Руффини-Абеля обнаруживает только то, что для всех алгебраических уравнений данной степени п ^ 5 универсальной формулы решения в радикалах не существует. Но отсюда ещё не следует, чго существуют уравнения с числовыми коэффициентами, которые нельзя решить в радикалах; ведь остаётся возможность того, что каждое уравнение может иметь своё особое решение в радикалах. Поэтому для более полного иссле­ дования вопроса о разрешимости алгебраических уравнений в ра­ дикалах нам придётся пойти дальше и изложить некоторые сведения, относящиеся к теории нормальных полей (полей Галуа). Пусть F С*) = Л * » + . . . +А = 0 (1) а — некоторое алгебраическое уравнение л-й степени над числовым полем Р . Мы будем предполагать, что комплексные корни уравнения (1) различны Присоединим к полю Р корни а а , . . . , а уравнения (1). Мы получим поле Q = P(a а а ), носящее название нормаль­ ного поля или поля Галуа относительно Р . В частности, когда Р есть область рациональности уравнения (1), то Q называется просто нормальным полем или полем Галуа, слова «относительно Р» опу­ скаются (см. § 10, стр. 232). Введём теперь весьма важное понятие группы уравнения. Обо­ значим через G совокупность всех таких подстановок симметрической группы S корней уравнения (1), которые, оставляя неподвижными элементы поля Р , не нарушают ни одно рациональное соотношение между корнями а ... , а над полем Р . Покажем, что множество G образует группу относительно умножения подстановок. Для этой цели воспользуемся следующим предложением, извест­ ным из теории групп; если М — конечное множество, то оно обра­ зует группу относительно алгебраической операции, определённой в этом множестве и подчиняющейся сочетательному закону. Таким образом, нам надо показать, что умножение подстановок является для G алгебраической операцией, т. е. что умножение подстановок всегда выполнимо во множестве G. Возьмём две произвольные подстановки г?£ и s из О. Пусть подстановка s переводит некоторое соотношение r (a ... , а ) = 0 между корнями уравнения ( I ) в соотношение г (оГ|, . . . , а ) = 0, а подстановка s переводит г ( а , , . . . , а„) = 0 в r ( a . . . , а„) = 0. Тогда произведение SjS переведёт соотношение r (а . . . , а ) = 0 и 2 п u 2 п n и п 2 t x lt п 2 п 2 2 3 | t 2 x и п ) В противном случае мы отделили бы кратные корпи. Об отделении кратных корней см, в книге Куроша ['] или в § 29 книги Окунева (•]. 1