* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

248 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Легко убедиться, что определенное таким образом соотношение действительно является отношением эквивалентности между парами множества М. В самом деле, так как / , f t = / , f t , то ( / , , ft)~(/i, ft), - е. наше соотношение обладает свойством рефлексивности. Далее, так как равенство / i f t = / s f t можно переписать в виде /aft—/ift. (ft* ft)~(A» ft) следует ( / , ft)~(A» ft)> - соотношепис обладает свойством симметрии. Наконец, пусть ( / „ £ j ) ~ ( / , g ) и ( / , ft)~(/ > ft)Тогда будут иметь место равенства т т 0 т т е 3 2 2 2 3 /ift=Aft и /aft=/ ft3 (S) ( ) g v 9 Умножим обе части равенства (8) на g$ и равенства (9) на Получим: Ziftft = / a f t f t . откуда Ziftft =f-sgigv a /aftft =/aftft. Сокращая последнее равенство на g* , имеем: f\g$=f$g\, т. е. из ft)~ ( Л . ft) и ( / e » f t ) ~ ( / . ft) следует, что ( / „ ft)~ ( / , ft). Соотношение, таким образом, обладает свойством транзитивности. Итак, соотношение ~ обладает всеми свойствами эквивалент­ ности. Тем самым это соотношение определяет разбиение множества М на классы эквивалентных пар. Условимся класс, в котором лежит 3 3 пара (/, g\ v обозначать символом — . Очевидно, что — = — тогда .и g 2 gi gs только тогда, когда / i f t = / f t . Введем для множества Д всех этих классов ^ операции сложе­ ния и умножения так, чтобы Д стало полем относительно введен­ ных операций. Руководствуясь свойствами 2° и 3° алгебраических дробей, мы сумму и произведение классов определим следующим образом: /1 I h_ =Jlg*-rfigl f*_ fi8*+fagi = /JQ\ gi*~gt gi Л gt Л g* gil gig^ 'gik7~ 9 K } Aft — v (П) Покажем, что эти определения законны. Они законны, во-первых, потому, что g g ф 0, так как g фO и g ф 0 (напоминаем — для всех пар (/, g) множества М многочлен gф0). Таким образом, сим­ волы в правых частях равенств (10) и (11) имеют смысл. t z 1 2