* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕРЮП ОТ НЕСКОТЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ 243 потому многочлен будет обращаться в нуль при любых значе­ ниях неизвестных. Обратно, пусть многочлен f(x ..., х ) обращается в нуль при любых значениях неизвестных. Для случая одного неизвестного (т. е. при п=\) теорема была доказана уже в § 3. Поэтому вос­ пользуемся методом математической индукции: предположим, что теорема верна для случая п—1 неизвестных, и покажем, что тогда теорема будет верна и для случая п неизвестных. Многочлен / ( л : , , . . . . х ) можно записать в виде v п п f( l> x x n ) = A i> a x x n-i) + i( v ~Ь ~ a x >•> a x х п-л) п-Т x х -\~ m( l> n-l) n* x где a {x х ) — многочлены от п—1 неизвестных х,, Дадим неизвестным х х , лг _, произвольные значения 6 ,... • • •, Тогда мы получим многочлен уже от одного неизвестного х над кольцом R: t u п и 2 л 9 л я (^> • • • . V i ) + « i ( V " M V i ) ^ „ + . . . + c 0 m (^..M ( 1 4 ) Так как /(лг,, хг ) равен нулю при любых значениях неиз­ вестных, то многочлен (14) будет равен нулю при любом значении неизвестного х . Отсюда в силу того, что теорема верна для много­ члена от одного неизвестного над R, получаем: я п «о(^ь b n-i) = > 0 a (b m it •••» *n-i) = 0t u О ) 5 Равенства (15) свидетельствуют о том, что многочлены a {x ..., лг„_,) от п—1 неизвестных лг,, х над R обращаются в нуль при любых значениях неизвестных, так как b _ произ­ вольны. Но, по предположению, теорема верна для многочленов от л — 1 неизвестных. Следовательно, пЛ n t a o( t> lt x x n-l)~®> п a m( l* X "••» x n-l) ®> ==z в силу чего и f(x . х ) равен нулю. Из только что доказанной теоремы вытекает Т е о р е м а 22. Если кольцо R бесконечно и не содержит делителей нуля, то два многочлена из R [лг„ . . . , х ] равны в том и только в том случае, когда их значения совпадают при любых значениях неизвестных. Доказательство. Если многочлены f(x ..., х) и g(x лг ) равны, то, как мы уже выше отметили, их значения совпадают независимо от того, будет или не будет R бесконечным кольцом без делителей нуля. Поэтому рассмотрим обратное: пусть значения многочленов f(x х ) и g(x х ) совпадают при любых значениях неизвестных. Тогда разность п lt п lt я lt п it п f( U 1С* x • • • > ti) X iT ( i, x -•- х t п)