* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

242 что f(X\ t КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ Р Л Ц И О Н \ Л Ь Н Ы Х ФУНКЦИЙ » -*Гп) = где ф , qpfrj, . . . , qp — формы, соответственно, т , - й , £,-й, . г , - й степени, ^ , ty , Т> — формы, соответственно, т - й , £ -й, г -й степени и ff^^Aj^ ^ > ^ i ; Щ^>Ь$^> • - . ^ > г . Перемножая /(Jt^, Я" ) и ^(лгц . . . , х ), получаем: т 1 ri m 2 ks 5 2 2 2 2 я п f(x lt * „ ) g " ( * i , -••> *n) — SPm, 0*11 + ••- +Ч?г (*1. А Х )^, (х п Пз 1г JC )-|-" n •••» -^JT^C*!n u п * Я ) . Очевидно, что в произведении f(x ..., x )g(x большую степень имеют члены, входящие в lt х) наи­ Но по доказанному выше степень произведения (13) форм 9т (х .... х ) и ty (x . . . , -*:„) должна равняться сумме т -\-т степеней этих форм. Следовательно, степень произведения много­ членов f(x ..., х ) и g(x ..., х ) также равна т -\-т^. Только что доказанную теорему можно распространить и на про­ изведение нескольких многочленов: степень произведения S много­ членов из R [x ..., х ] равна сумме степеней этих многочленов. Понятие значения многочлена от нескольких неизвестных вво­ дится совершенно так же, как и в случае многочлена от одного неизвестного. Именно, пусть f(x .... х ) — произвольный много­ член из R[x х ]. Заменим в нём неизвестные х х какими-нибудь элементами с с кольца R. Мы получим неко­ торый элемент d того же кольца R. Этот элемент и называется значением многочлена f(x х ) при значениях неизвестных Ху = с ..., х = с и обозначается через f(c с ). Очевидно, что если два многочлена из R [х ..., х ] равны, то их значения также равны при любых значениях неизвестных. Для произвольного кольца R обратное, как мы знаем, неверно уже в случае многочлена от одного неизвестного. Однако дело обстоит иначе, когда кольцо R бесконечно и не обладает делителями нуля. Докажем, прежде всего, следующую теорему: Т е о р е м а 21. Если кольцо R бесконечно и не содержит дели­ телей нуля, то многочлен f(x х ) над R в том и только в том случае равен нулю, когда при любых значениях неизвест­ ных он обращается в нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если многочлен f(x ..., х ) равен нулю, то все его коэффициенты должны равняться нулю, и 1 и п ma it 1 % l9 п lr п х v п u п lt п гз п и п l9 п и п п l9 п и п u п u п