* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ
НЕИЗВЕСТНЫХ
241
тематической индукции; допустим, что в кольце многочленов R[x ...^Хп^] от п—1 неизвестных нет делителей нуля. Тогда и в кольце R[x х ] также не будет делителей нуля, так как по определению R [х ..., х \ есть кольцо многочленов от одного неизвестного х над кольцом R[x х ^] без делителей нуля. Исходя из только что доказанной теоремы, нетрудно убедиться, что теорема о степени произведения двух многочленов от одного неизвестного, высказанная нами ещё в § 1, может быть распростра нена и на многочлены от нескольких неизвестных: Т е о р е м а 20. Если кольцо R не содержит делителей нуля, то степень произведения двух многочленов из R [x . . . , х ] равна сумме их степеней. Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, прежде всего, что теорема верна для однородных многочленов. Пусть <р(х х) и ty(x х ) — две какие-нибудь формы из R [х ..., х ] соответственно m -Pi и т*-К\ степени:
l9 i9 п и п п lt п v п и п l9 п и п t
cp = A x iX^
l i
a
... x^i-\J # + +
-\-A x«kxlk
k
.;.
х™*,
Х"'и
$=B JCllxtl
t
BtfjX*i
(£ — 1, 2, . . . ,
k-y
j — 1, 2, —
^)* член формы ty мы
9
Умножая каждый член формы 9 на каждый получим сумму слагаемых вида д . / ^ + ^ + е ; . . . х2+°%
(12)
и степень каждого из таких слагаемых по отношению ко всей сово купности неизвестных равна
( « + « ; ) + ( Р + Р ^ + ••• + ( « • > / + « > / > =
/ /
=(«#+&+
р ; + ••• + » y ' ) = « i + « .
e
Следовательно, если cpty ф 0, то не все слагаемые (12) исчезнут, и степень 9^ будет равна /л, -|- т . Но 9'} не может равняться нулю, так как R [x х ] есть кольцо без делителей нуля в силу теоремы 19. Итак, для форм наша теорема доказана. Остаётся доказать теорему для произвольных многочленов f(x х ) и g(Xj, . . . . х ) из R[x х ]. Пусть степень многочлена f(x х ) равна т а степень многочлена g(x х ) равна т . Тогда мы можем написать,
2 lt п l9 п п l9 п it п 19 l9 п г
16 Э н ц и к л о п е д и я , к н . 2.
