* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

кольцо МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 229 Очевидно, что g(x) не делится на р(х), так как степень g(x) ниже степени р(х). В силу неприводимости р(х) отсюда следует, что многочлены g(x) и р (х) взаимно просты. Но в таком случае будет иметь место равенство g(x)cp(x)-\-p(x)$(x)=l, (6) где у(х) и ty(x)— некоторые многочлены с коэффициентами из того же поля Р (см. § 2). Полагая в равенстве (6) х = а и прини­ мая во внимание, что /?(а) = 0, получаем: g(a) (a)=l. 9 (7) Теперь, пользуясь равенством (7), мы можем следующим обра­ зом преобразовать отношение (5). Умножим числитель и знамена­ тель (5) на 9(a). Получим на основании равенства (7), что т = / wi w = / w i w = / ( a ) ф ( a ) . Ho / ( a ) 9 (a) есть некоторый многочлен от a: /(a)9(a) = c + c a - f . . . 0 1 +c aK k Следовательно, Итак, поле P (a) состоит из тех же элементов (3), что и кольцо Р [а], вследствие чего Я ( а ) = Р [ а ] , и теорема доказана. З а м е ч а н и е . В только что проведённом доказательстве мы попутно установили, что всякий элемент р из Р(о) выражается в виде многочлена от a p = a 4 - a j a - f . . . - f a^a"" 0 1 степени не выше, чем п—1, где п — степень многочлена р(х). Нетрудно убедиться, что такое выражение элемента р является единственным. Действительно, если p=6 +£, 0 i a +... 1 то («• — *о) + G 1 1 (i a — * i ) + • • • + K - i — V i ) a"' = оa 7 0 a Таким образом, многочлен й(дг) = ( а — & o ) ~ h ( i — ^ I ) - * - ^ • 4 ~ ( ~ i —bn-i)** ' имеет а своим корнем, а потому многочлены р(х) и /г(дг) будут не взаимно просты, так как будут иметь х — а общим делителем. Тем самым многочлен h(x) должен в силу неприводи­ мости р (х) делиться на р (х). Но это может быть лишь тогда, когда h(x) — 0\ в противном случае р(х) был выделителем многоn