* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

228 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Д о к а з а т е л ь с т в о . Без ограничения общности выводов можно предположить, что о является корнем многочлена с P(X)=PQ-\-PI*+ Л-РпХ* iPn^O), неприводимого в поле Р . В самом деле, если бы а являлось корнем многочлена F(x) приводимого в Р , то, очевидно, а было бы корнем одного из неприводимых множителей F(x) Этот неприводимый множитель мы и взяли бы в качестве р (лг). Согласно определению любой элемент р из Р [а] должен иметь вид 9 m р = / ( а ) = с, + с, а + . . . -|- с а\ к 0 k (3) где k — целое неотрицательное число и с , . . . , c — числа из поля Р . Покажем, прежде всего, что выражение (3) можно преобразовать в следующее выражение: имеющее относительно а степень, меньшую чем степень я много­ члена р (лг). Обозначим через q (х) и г (х) = о - | - а х -\- лг -\- . . -\-\-n ^iX ~ соответсгвенно частное и остаток, получающиеся при делении 2 0 х n 1 n f(x) = c + c x-\Q x ... + на р (лг). Мы можем написать, что /(*)=/>(*)*<*)+'(*). (4) Полагая в равенстве (4) х = аи принимая во внимание, что />(а) = 0, получаем: / ( а ) = г(а), или р = / ( а ) = г(а) = о + а а + 0 1 ... + af " , 1 1 что и требовалось показать. Теперь обратимся к отношению Мы сейчас убедимся, что его можно преобразовать в целое рацио­ нальное выражение от а. Для этой цели рассмотрим многочлен g (JC) = b -f- b x -J- . . . - | - Ъ __ лг"" . Он не равен (тождественно) нулю: если бы g (х) равнялось нулю, то Ь = Ь = ... = Ь _ = 0, в силу чего 1 0 t п х 0 Х п 1 *(а)=Л + & 1 в + . . . + й „ _ а " - = 0, 1 1 что противоречит условию ^ ( а ) ^ 0 .