* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

216 К О Л Ь Ц О МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Д о сих пор мы предполагали коэффициенты кубического уравне­ ния любыми комплексными числами. Рассмотрим теперь наиболее часто встречающийся случай кубического уравнения с действитель­ ными коэффициентами. Мы увидим, что и в этом случае дискрими­ нант Д играет существенную роль в исследовании кубического уравнения. А) Д ^ > 0 . Так как здесь Д ф 0, то все три корня уравнения (8) должны быть различными. Выясним, сколько среди них будет действи­ тельных корней. Обращаясь к выражению легко усмотреть, что под кубическим корнем находится действи­ тельное число, так как Д ^ > 0 . Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Примем его за я . Тогда z> будет также действительным. Отсюда на основании формул (12*) заклю­ чаем, что уравнение (8) имеет только один действительный корень, а именно У$ = Щ-\-Щ- Выясним, когда этот корень положителен и когда отрицателен. Пусть р^>0. Тогда 0 0 < /А 0 и щ должно быть положительным, а число и , равное действитель­ ному значению V-•%— а при д<^0 /д, д^>0 должно быть, очевидно, отрицательным. Далее, при - 4 + /д > 0 - I — / д 0 п 0 Таким образом, если д^>0, то [и [<^|г> |, вследствие ч е г о ^ = = и + г ' о будет отрицательным; если же д < ^ 0, то | и | ^ > | ^ | и потому _у будет положительным. Пусть теперь р<^0. Тогда 0 0 0 > 0 /д и и должно быть отрицательным при д^>0 и положительным п р и д < ^ 0 , а число v , равное действительному значению 0 V