* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

198 КОЛЫЮ МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ всех значений х, и для любого 8^>0 можно указать такое значение х = х\ при котором \/(х')\<^1-^Ь. Иными словами, для любого 8^>0 можно подобрать такое комплексное число х\ что о^|/(*')|—/<г. (19) Покажем, что имеет место даже нечто большее, а именно спра­ ведлива следующая. Т е о р е м а 15. Если I — нижняя грань множества А всевоз­ можных значений модуля многочлена \/(х)\, то существует по меньшей мере одно такое комплексное число х , что / = ] / ( д : ) | . Д о к а з а т е л ь с т в о . ВОЗЬМЁМ какую-нибудь последовательность \Ь \ положительных действительных чисел, сходящуюся к нулю. Согласно сказанному выше о неравенстве (19) можно для каждого Ь подобрать такое x что й 0 к к kt 0 ^ | / М ) | — l0 можно указать такое 7V^>0, что для всех k^>N будет иметь место неравенство Ь <^г. Отсюда для k^>N можно неравенство (20) усилить, а именно при k^>N будет иметь место к °*£|/.(*Ь)| — ' О Последнее неравенство свидетельствует о том, что последова­ тельность действительных положительных чисел { | / ( - * 4 ) | } сходится к /. Поскольку последовательность { \/(х ) \} сходится, она должна быть ограниченной, т. е. должно существовать такое число Ж ^ О , для которого |/(-^)|<Л* (А = 1, 2, 3, . . . ) . (21) к Согласно лемме 1 можно для этого М указать такое поло­ жительное число N, что при | j f | ] > 7 V будет выполняться неравенство \f{x)\>M. к (22) Но для чисел х\, х^ х' , . . . имеет место неравенство (21), а не (22). Поэтому x'k не могут быть по модулю больше N\ иными словами, \x' )^N. Таким образом, последовательность \х' \ оказа­ лась ограниченной. Но, как известно, ограниченная последователь­ ность {х \ должна обладать сходящейся подпоследовательностью. Пусть это будет причём пусть lim x' =x . k к к Vk e k ~* со Так как {|/(-Vy )|} есть подпоследовательность последователь­ ности { ] / ( • * ] ) I } сходящейся к /, то { \ f ( x ' ) | } также сходится к /• Следовательно, мы можем написать, что (23) Jim \/(Ху )\ = 1 ft -* со ft 4 к ч