* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ от ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 151 Так, в только что разобранном примере мы нашли, что наи­ больший общий делитель многочленов / (JC) = 2х* — 3x — 5л; + л; + вх + 3, i i 3 2 g(x) = 3x -\-2x* — 3x* — 5x — 2 ь 3 над полем рациональных чисел равен х — х—1. Но эти же мно­ гочлены и над полем действительных чисел будут иметь J C — х — 1 наибольшим общим делителем. Для нескольких многочленов f (x), / (лг), . . . , f (x) из Р[х] общий делитель и наибольший общий делитель определяются ана­ логичным образом. Именно, многочлен d(x) из Р[х] называется общим делителем / , (JC), / (JC), . . . , f (JC), если каждый из много­ членов / , (лг), / (л;), . . . , f (х) делится на d (JC). Общий делитель D(x) называется наибольшим, если D(x) делится на всякий общий делитель многочленов f (JC), / (JC), . . . , f (JC). Разыскание наибольшего общего делителя нескольких многочле­ нов можно свести к нахождению наибольшего общего делителя двух многочленов. В самом деле, пусть D (JC) — наибольший общий де­ литель k—1 многочленов f {x) / ( J C ) , . . . , fk-i( ). Легко убе­ диться, что если D(x) — наибольший общий делитель D (x) и f (x), т э это D(x) будет вместе с тем и наибольшим общим делителем всех k многочленов / (х), ... , f (JC). Повторяя дословно те же рассуждения, что и выше, можно убе­ диться в единственности наибольшего общего делителя нескольких многочленов (с точностью до множителя нулевой степени). Исходя из алгорифма Евклида, можно получить ряд выводов. Отметим наиболее существенное. Т е о р е м а 7. Если D (JC) — наибольший общий делитель мно­ гочленов / ( J C ) и g{x) из Р[х], то в том же самом кольце Р[х] можно подобрать такую пару многочленов ср(х) и ^(JC), что x 2 k 2 k 2 k x 2 k x x x % 2 x k х k f(x) 9 (л;) + g(x) ф (х) = D (л;). (6) Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмём предпоследнее равенство (5) и пе­ ренесём r _ (JC) q (JC) В левую часть. Тогда, принимая во внимание, что r (x) = D (х), получаем: k x k k h-* ( ) Затем из равенства х — Ъ-t И Як (*) = D (лг). (7) Гк-ъ 0*0 = Гк-ъ (•*) Яь-i (х) + определяем r _ k x С*) (х) (х) *к-\ С*) = к (х) — r*_ (х) q _ 2 k х t и подставляем это значение г _ {х) в (7). Получим: ^ - 2 W 1 1 + Ям С*) Як-х (х)} — r _ (х) q (х) = D (х) ft 3 H