* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

150 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ делиться на D (x), откуда по свойству 2° делимости D (x)=cD (х), что и требовалось показать. Наибольший общий делитель f(x) и g{x) может оказаться много­ членом нулевой степени. В этом случае f(x) и g(x) называются взаимно простыми многочленами. Как и в случае целых чисел, условимся наибольший общий де­ литель многочленов f(x) и g(x) обозначать для сокращения письма символом (f(x) g(x)). П р и м е р 1. Найти наибольший общий делитель многочленов t i 1 f / (х) = 2х* — Зх* — 5JC + х* - f блг + 3 3, g (х) = Зх* - f 2л- — З л — 5 л — 2 над полем рациональных чисел. Чтобы избежать дробных коэффи­ циентов, умножим предварительно f(x) на 3: 6л" — 9 Л — 1 5 Л + 4 3 3 2 ЗЛ +18Л + 9 2 2 2 ЗЛ 4 2 л — З л — 5Л: — 2 8 2 6х* + 4 л — блг — 1 Ол — 4л 4 3 4 3 2л — 13Л- — 9 Л + 1 3 Л + 22Л + 9 Теперь, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножим по­ лученную разность на 3. Этим мы, правда, исказим частное, но остаток определится с точностью до множителя нулевой степени. Итак, продолжаем вычисления: — 3 9 л — 27Л + 39Л + 66Л-|-27 З Л - f 2 л — З л — 5 л — 2 — 3 9 л — 2 6 л - f 3 9 л - f 65л + 26 — 13 4 3 2 4 3 2 4 3 2 — x 9 + •*+ 1 Таким образом, мы нашли с точностью до множителя нулевой степени остаток Т (Л) = Л X— 1 3 х от деления f(x) на g (х). Теперь надо g (л) делить на т (л). Читатель может сам без труда убедиться, что g(x) делится без остатка на г (л). Следовательно, х х л —х —1 и есть наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x). Так как алгорифм Евклида сводится к последовательному при­ менению алгорифма деления с остатком, то можно высказать сле­ дующее важное заключение: наибольший общий делитель D (л) многочленов / ( л ) и g(x) найденный с помощью алгорифма Евклида, не зависит от того, будем ли мы рассматривать f(x) и g[x) над полем Р или над более обширным полем Р\ 9 3