* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

140 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ каждого из слагаемых f(x) и g(x); она может оказаться и ниже степе­ ней f(x) и g(x). Например, если f(x) то f(*) + g(x) = Gx + 5 будет уже многочленом первой степени. С первого взгляда на равенство (А) (см. стр. 132) может пока­ заться, что степень произведения многочленов f(x) и g(x) равна сумме их степеней. Но это заключение в случае произвольного кольца R ошибочно. Дело в том, что существуют кольца R с дели­ телями нуля, т. е. кольца, в которых произведение элементов может равняться нулю и в том случае, когда сомножители отличны от нуля: ab = 0 и при афО, Ъ ^ 0. Такие элементы а Ф 0 и ЬфО, как известно, называются делителями нуля. Одним из простейших примеров кольца с делителями нуля может служить множество всех матриц второго порядка = 2x* + x*-{-x— 1, g(x) = — 2JC — х* + 3 5х-\-6, с действительными элементами a а , а , а . Нетрудно убедиться, что это множество образует кольцо относительно сложения и умно­ жения матриц *). Вместе с тем легко видеть, что в этом кольце роль нуля играет нулевая матрица второго порядка, т, е. матрица l l t 12 21 22 все элементы которой равны нулю. Возьмём теперь следующие две матрицы: Эти матрицы отличны от нуля, так как каждая из них содержит в качестве элемента число 1, не равное нулю. Однако их произве­ дение согласно правилу перемножения матриц будет равно нулю, т. е. будет нулевой матрицей. Таким образом, если кольцо R обладает делителями нуля и f(x) = a -J a x-\-...-\-a x 0 r 1 n n ( я Ф 0) п — многочлен я-й степени над R, а g x () = b -\-b x 0 1 + ... + bx m m ib m ф 0) Узкова ') О действиях над матрицами см. в § 21 статьи А. И. «Векторные пространства и линейные преобразования».