* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО 139 п где ft—произвольное целое неотрицательное число, a а ... , ~ —• произвольные элементы из R. Таким образом, *? должно совпадать ! с /?[6], и минимальность R [б] становится очевидной. Изоморфизм кольца многочленов R [х] с кольцом R [б] даёт нам право считать R[x] и R [6] неразличимыми с точки зрения их ал­ гебраических свойств относительно операций сложения и умноже­ ния, а само х рассматривать как элемент, трансцендентный отно­ сительно R. Таково истолкование неизвестного х. Введём теперь понятие степени многочлена от неизвестного х. Возьмём из R [х] произвольный многочлен, не равный нулю. В та­ ком многочлене по меньшей мере один коэффициент должен быть отличен от нуля. Назовём степенью этого многочлена наибольшую из степеней его членов, у которых коэффициенты не равны нулю. Например, Qf 1у / ( л г ) = 1 + 2* + Зл; + О . * з 2 - х : + 0 - х* есть многочлен от х четвёртой степени над кольцом целых чисел. Если степень многочлена f(x) равна п, то, очевидно, мы его можем всегда записать в виде /(*) = я + 0 а 2 4 1 * + ••• + а п х п или в виде со старшим коэффициентом а отличным от нуля, так как члены, содержащие х в степени выше л-Й, равны нулю, и мы их можем отбросить. Всякий элемент а ф 0 кольца R можно рассматривать как мно­ гочлен нулевой степени от неизвестного х, потому что а = ах°. Что касается нуля кольца R, то мы его будем рассматривать как многочлен, не имеющий степени. Понятие степени позволяет весьма просто выразить "условие ра­ венства двух многочленов от х. А именно, если п> g (х) = Ь + Ь х + ... ь х + Ь^ т [Ь ф 0) т — два многочлена из R [х] соответственно степени п и т, то эти многочлены равны лишь в том и только в том случае, когда их степени равны и равны-их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного: п = т, a = b, Q 0 a =b , 1 1 а = п b. n Что касается многочлена, равного нулю, то, как мы знаем, все коэф­ фициенты такого многочлена должны быть равны нулю. Из определения операции сложения многочленов от х легко усмотреть, что степень суммы f(x)-\-g(x) не превосходит степени