* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

138 КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНЛЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ при п<^т a o = o> a = b t b lt ... f a = b, n n b =0 n+l t , b = 0. m Мы видим отсюда, что f(x) = g(x). Для завершения доказательства теоремы остаётся показать, что сумме и произведению любых двух многочленов из R [х\ соответ­ ствуют сумма и произведение соответствующих элементов из R [б]. Пусть, например, /(*) = a + i*+ +а * , g(*) = b + b x+ ... +* * 0 л 0 l м fl п м и п^т. Тогда согласно определению сложения многочленов из R[x] f(x) + g(x) = c -\-c x 0 1 + ... +с х , п т п п где c- = a- -\-b причём при п^>т коэффициенты Ь +и -•• »-£ следует считать равными нулю. Этому многочлену f{x)-\-g(x) мы должны поставить в соответствие f t lt Т = с + в С 1 в + ... +с 6". п Но *+ P = K + i Следовательно, fl e + ••• + + (*o + * i » + . . . + * « п = Аналогичным образом обнаруживается, что / ( * ) * ( * ) — ар. Теорема доказана. Из изоморфизма кольца многочленов R [х] с множеством R [6] вытекает, что R[b] есть также кольцо. Тем самым R [б] есть рас­ ширение кольца /?, содержащее элемент 6, и в то же время R [б] есть подкольцо кольца 2 . Оказывается, что /?[б] является м и н и ­ м а л ь н ы м в следующем смысле: никакое подкольцо кольца R [б], отличное от R [6] и являющееся расширением R уже не может содержать элемента б. В самом деле, пусть 5 — н е к о т о р о е подкольцо кольца /?[6]> содержащее элемент б и являющееся расширением /?. Тогда, оче­ видно, S будет содержать не только 6, но и любую целую неотри­ цательную степень 6 элемента 6. Так как 5 является расшире­ нием /?, то 5 должно содержать произвольный элемент а кольца R, а потому должно содержать и ab . Отсюда 5 должно содержать и всевозможные элементы вида t fe k