* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ П Ю С К О С Т И И ПРОСТРАНСТВА 115 Пусть дано симметрическое преобразование А плоскости. Выби­ рая в качестве базиса два взаимно перпендикулярных единичных вектора, е е%, выразим наше линейное преобразование матрицей и А(е и еъ) = (е 1я е*) а а | а J' 2й 2 3 | При этом в силу симметричности преобразования а , = а . Поста­ вим вопрос: не существует ли на плоскости такого вектора x = e x -\~e x который при преобразовании не меняет своего направления? Предполагается, что этот вектор отличен от нуля, так как в противном случае не имеет смысла говорить о его на­ правлении. Поставленное условие означает, что вектор Ах должен получаться из вектора х умножением на некоторое число X. Запи­ сывая равенство Ах=\х в матричной форме по нашим правилам, получим: l l 2 2t 4„ <;)КЧ:::)СЬ- О Отсюда следует, что должны соблюдаться такие числовые равенства: и a n i + e«*a = bf x ли a> ах 12 х . . . > -\~ (а — X) х = 0. ) ч ч 22 2 (1) Последние представляют собою систему линейных однородных урав­ нений с неизвестными х х . Для того чтобы такая система имела отличное от нуля решение, как мы знаем, должно выполняться равенство определителя системы нулю и 2 а п —X G а G п = 0. ^ I2 22 Это даёт уравнение для определения возможных значений числа X: ^ — (яц + а ) X — а\ - f с „ а м % 2 2 = 0. (2) Обращая теперь внимание на то, что коэффициенты этого уравне­ ния действительны (мы рассматриваем обычную плоскость элемен­ тарной геометрии, так что все координаты векторов выражаются действительными числами) и что дискриминант уравнения (a lt - fa f 22 - f 4af — 4 а , ^ = (а — а ) + 4а? 5э= 0, 8 п 22 8 2 можем утверждать, что корни уравнения (2) всегда действительны. Рассмотрим теперь отдельно два случая: а) Корни уравнения (2) равны между собой. Это происходит тогда, когда дискриминант уравнения равен нулю, т. е. когда (а,, — а ) -{- 4af = 0. Но последнее равенство означает, что 2 2 2 a 8*