* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

116 и £а ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ \ИИЯ 12 а —а = 0 и а = 0. Таким образом, наше преобразование в рас­ сматриваемом случае задаётся матрицей а п 0\ a U n О Оно сводится к тому, что оба вектора базиса умножаются на одно и то же число а . Но в таком случае, как легко видеть, для любого вектора х будет: Ах = а х. Выражаясь геометрически, это озна­ чает, что А есть преобразование подобия с коэффициентами по­ добия а . б) Корни уравнения (2) различны. Пусть они равны, соответ­ ственно, Х| и Х . Выражая коэффициенты уравнения через его корни, будем иметь: п и и 2 S п 19 1 г 1 ш (3) а а^ — а = 1 Ц Подставим в уравнения (1) сначала одно из значений X, например XiТак как определитель системы уравнений (1) при этом обращается в нуль, система должна сводиться к одному уравнению, например к первому. Решение системы поэтому будет даваться значениями лг а и д г = X, — а (или любыми значениями, им пропорцио­ нальными). Таким образом, мы находим один вектор |= | 2 2 п х г = ea o + x X е (X, — а „ ) , % который под действием преобразования А только умножается на число X,. Этим свойством будет обладать также любой другой век­ тор, совпадающий по направлению с вектором x Аналогичным образом находим и другой вектор х , , обладающий тем свойством, что Ax ==) Jt . Таким вектором будет, например, д: = е , а , - 1 - | - е ( Х — а ). Легко усмотреть, что найденные векторы взаимно перпендикулярны, так как их скалярное произведение v 2 2 2 2 2 2 2 п С*,, JC ) = 2 G , \ + (>-i — an)(h — flu) = > 2) « и + = < + hh - Q i + <=о Чтобы резюмировать полученные результаты, введём одно новое понятие: вектор х, обладающий тем свойством, что Ах=Ух, называется собственным вектором преобразования А. Число X называется собственным значением преобразования А которому принадлежит собственный вектор jc. Если использовать введённое понятие, то просмотр получен­ ных выше результатов убеждает нас в справедливости следующей теоремы: Т е о р е м а . Каково бы ни было симметрическое преобразование плоскости, для него существуют два взаимно перпендикулярных у х ) Последнее получается применением формул (3).