* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 111 Вырожденность или невырожденность линейного преобразования может быть очень легко обнаружена по его матрице: Преобразование А тогда и только тогда является невыро­ жденным, когда соответствующая ему матрица имеет опреде* литель, не равный нулю. В самом деле, если преобразование А вырожденное, то векторы Ае . . . , Ае не могут быть линейно независимыми, так как в этом случае любой вектор у пространства можно было бы представить их линейной комбинацией Ае х -\- ... -\-Ае х а это означает, что вектор у является образом вектора х=е х -\... -^е^х^ так что совокупность образов векторов пространства з а п о л н я е т в с ё п р о с т р а н с т в о , вопрёки предположению. В силу доказанного в главе I I условия линейной независимости векторов в таком слу­ чае определитель матрицы, составленный из коэффициентов выра­ жений векторов Ае , Ае через базис е , е > должен быть равен нулю. Но этот определитель и является определителем матрицы преобразования Л. Наоборот, если определитель матрицы М равен нулю, то в силу того же условия линейной зависимости, векторы Ае Ае будут линейно зависимыми, а следовательно, их линейные комби­ нации не могут заполнять всё рассматриваемое пространство. Если теперь заметить, что образ любого вектора х = е х -\... -j" -\-е х является такой линейной комбинацией, то станет ясным, что это и означает в ы р о ж д е н н о с т ь преобразования Л. Невырожденные преобразования обладают ещё одним свойством, которое, подобно только что указанному, является для них харак­ теристическим: Преобразование А тогда и только тогда является невыро­ жденным, когда единственным вектором, обращающимся после преобразования в нулевой вектор, является сам нулевой вектор, В самом деле, если векторы Ae Ае линейно зави­ симы, то найдутся некоторые числа х , ...» х не все равные нулю, для которых Ае • х -f- . . . -\- Ае • х = 0. Но это озна­ чает, что образ отличного от нуля вектора х=е х -\- . • - ( - пп равен нулевому вектору. Наоборот, если векторы Ae Ае линейно независимы, то образ Л (х) = Ае х -\~ ... -\-Ае х любого вектора jc = е х "~Ь п п> отличного от нуля, сам не ра­ вен нулю. Простейшим из всех преобразований является тождественное преобразование Е т. е. такое, которое оставляет все векторы прост­ ранства неподвижными: Ех = х. Из соотношений ХУ п х х п пУ 1 1 х п х п А Х9 п х х Г1 п v п х п> х х п п е х х х tt п х х п п е х х х у I ••"f .. . , , •- . ,