* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

112 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТР\НС"ГВ\ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ следует, что тождественное преобразование во всяком базисе выражается единичной матрицей. В случае невырожденного преобразования Л (и только в этом случае) можно говорить об обратном преобразовании: это — такое преобразование, которое переводит образ Ах любого вектора х, полученный при преобразовании Л, снова в вектор JC. Другими сло­ вами, обратным преобразованием для преобразования А называется такое преобразование А, для которого произведение А~ А яв­ ляется тождественным преобразованием. Установленное раньше правило образования матрицы произведения преобразований пока­ зывает, что матрицей обратного преобразования является обратная матрица матрицы данного преобразования, так как должно быть: 1 1 М -\М А А =М -л А А = Mr, = Е. Ограничимся снова рассмотрением преобразований плоскости и обычного трёхмерного пространства. В этих случаях, как мы отме­ чали выше, естественно пользоваться ортонормальными базисами (т. е. базисами, состоящими из взаимно перпендикулярных единичных векторов). При пользовании такими базисами в совокупности всех линейных преобразований естественно выделить некоторые частные их типы. Формальным основанием такого выделения могут послужить свойства матриц, представляющих эти преобразования. Важнейшими из определяемых таким путём классов преобразо­ ваний являются следующие: 1. Ортогональные преобразования, т. е. линейные преобразова­ ния рассматриваемого пространства, которые в некотором ортонормальном базисе выражаются ортогональными матрицами. 2. Симметрические преобразования, представляемые в таком базисе симметричной матрицей (т. е. такой, которая не меняется т при транспонировании: М = Ж д ) . Первый вопрос, который возникает в связи с таким определе­ нием: может ли преобразование представляться симметричной или ортонормальной матрицей в одном ортонормальном базисе и в то же время в другом базисе выражаться матрицей какого-либо другого характера. Ответ на этот вопрос—-отрицательный: Если некоторое линейное преобразование А представляется в ортонормальном базисе симметричной (или ортогональной) матрицей, то такой же матрицей оно представляется и в любом Оругом ортонормальном базисе. В самом деле, переход от одного ортонормального базиса к дру­ гому даётся ортонормальной матрицей перехода С (см. § 21). Поэтому С~ =С . Пользуясь теперь правилом, связывающим матрицы М М'А преобразования Л в двух рассматриваемых базисах, будем иметь: А 1 Т И А М\ = С М С А 1 = СМ Т А С.