* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 103 говоря, является лишь грубой иллюстрацией того, что с л е д у е т называть сдвигом, так как из-за наличия отдельных листов книги наша «плоскость» приобретает дискретный характер. Однако полу­ чающееся наглядное представление весьма точно соответствует тому, что понимается под сдвигом в строгом геометрическом смысле слова. П р и м е р 4. Будем считать, что каждому вектору плоскости отнесено его «зеркальное отражение» в некоторой фиксирован­ ной прямой, т. е. вектор, расположенный симметрично с дан­ ным относительно этой прямой. Этим опять-таки определяется линейное отображение плоскости на ту же самую плоскость (рис. 11). В трёх последних примерах имело место следующее частное обстоятельство: рассматриваемое векторное пространство отобра­ жалось в себя самого, т. е. исходные векторы и их образы оказались при­ надлежащими одному и тому же про­ странству. Этот частный случай с алге­ браической точки зрения является наи­ более интересным (и общий случай к нему легко сводится). Поэтому во всём дальнейшем, говоря о линейных преобразованиях, мы будем иметь в виду только л и н е й н ы е о т о б р а ­ жения п р о с т р а н с т в а в себя. Связь введённых геометрических понятий с алгеброй устанавливается Д{х+у)=Дх+Ду тем, что из заданных линейных пре­ Рис. 11. образований можно создавать новые линейные преобразования с помощью формальных операций (имеющих, впрочем, вполне конкретное гео­ метрическое содержание). После введения операций над преобразо­ ваниями последние становятся естественным объектом изучения алгебры. Рассмотрим сначала с л о ж е н и е л и н е й н ы х преобразо­ в а н и й . Пусть А и В — д в а линейных отображения некоторого векторного пространства L в себя. Эти преобразования ставят в соот­ ветствие каждому вектору х нашего пространства его образы А х и В х . Так как любые векторы пространства мы можем сложить, то можно образовать вектор А х - \ - В х и считать его с о о т в е т ­ с т в у ю щ и м вектору х> Этим устанавливается н е к о т о р о е н о ­ в о е о т о б р а ж е н и е нашего пространства в себя, так как век­ тор А х - \ - В х определён для каждого вектора х . Обозначим полу­ ченное отображение через С. Оно будет линейным отображением. Для доказательства достаточно проверить наличие у него двух основных свойств (1) и (2) таких отображений. Но эти свойства